Représentations paramétriques et équations cartésiennes des droites et plans

C'est la droite passant par $A$ et $B$. Son vecteur directeur est $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A)$.

💡 À retenir : Le vecteur $\vec{AB}$ sert de vecteur directeur.

Non, le plan nécessite deux paramètres (souvent notés $s$ et $t$) pour sa représentation paramétrique, car c'est une surface à deux dimensions.

💡 À retenir : $t$ seul est réservé à la droite.

Non, tout vecteur colinéaire à $\vec{u}$ (c'est-à-dire $k\vec{u}$ avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur de la droite.

💡 À retenir : Une infinité de vecteurs directeurs existent pour une même droite.

1. Identifiez les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$.
2. Vérifiez s'ils sont colinéaires ($\vec{n_1} = k\vec{n_2}$).
3. S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.

💡 À retenir : Plans parallèles = Normaux colinéaires.

1. Choisissez un point $A$ et deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Calculez $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
3. Utilisez l'équation $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.

💡 À retenir : Trois points définissent un plan unique.

Oui, car on peut choisir n'importe quel point appartenant à la droite et n'importe quel vecteur directeur colinéaire à $\vec{u}$.

1. Changez le point de base.
2. Multipliez le vecteur directeur par un réel non nul $k$.

💡 À retenir : La droite reste la même, seule l'expression change.

Pour savoir si une droite $(D)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ sont parallèles :

1. Calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{n}$.
2. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$, alors ils sont parallèles.

💡 À retenir : Si le produit scalaire est nul, le vecteur directeur est orthogonal à la normale, donc la droite est parallèle au plan.

1. Remplacez $x, y, z$ de la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan.
2. Résolvez l'équation obtenue pour trouver la valeur du paramètre $t$.
3. Remplacez $t$ dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : Si l'équation n'a pas de solution, la droite est strictement parallèle au plan.

Un plan possède une seule équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$. Une droite dans l'espace ne peut pas être définie par une seule équation cartésienne ; elle est définie par l'intersection de deux plans, donc un système de deux équations.

💡 À retenir : 1 équation = Plan, 2 équations = Droite.

Non. Par définition, un vecteur normal $\vec{n}$ doit être non nul ($\vec{n} \neq \vec{0}$) pour définir un plan. Si les composantes sont $(0,0,0)$, cela ne définit aucune direction normale.

💡 À retenir : Un vecteur normal est toujours un vecteur directeur d'une droite perpendiculaire au plan.

1. Khoud l-i7datiyat dyal noqta $(x, y, z)$.
2. 3awdhom f-l-mo3adala dyal l-mostawa $ax+by+cz+d$.
3. Ila l-natija hiya 0, l-noqta katn-tami. Ila la, matn-tamich.

💡 À retenir : Il suffit que l'égalité soit vérifiée.

Si vous avez deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires du plan, le vecteur normal $\vec{n}$ est le produit vectoriel $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$.

💡 À retenir : Le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal aux deux vecteurs de base.