Géométrie · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA (architecture)
Géométrie analytique dans l'espace
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :
Le produit scalaire de $\vec{u}(x,y,z)$ et $\vec{v}(x',y',z')$ est $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
Un plan $(P)$ est défini par $ax + by + cz + d = 0$ avec $\vec{n}(a,b,c)$ vecteur normal.
Une droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a,b,c)$ a pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
Méthodes à maîtriser
Vérifier l'appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation du plan ou de la droite.
Déterminer l'intersection : Résoudre le système formé par les équations du plan et de la droite.
Calculer une distance : Distance d'un point $A(x_A, y_A, z_A)$ au plan $(P): ax+by+cz+d=0$ :
$$d(A, P) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
Exemples corrigés
Plan : Soit $A(1,0,2)$ et $\vec{n}(1,-1,1)$. L'équation est $1(x-1) - 1(y-0) + 1(z-2) = 0 \iff x - y + z - 3 = 0$.
Distance : $d(O, P)$ avec $x-y+z-3=0$ est $\frac{|-3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
Erreurs fréquentes
Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme ou de la distance.
Confondre vecteur normal (pour le plan) et vecteur directeur (pour la droite).
Oublier le paramètre $t$ dans la représentation paramétrique.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Est-ce que le produit scalaire est toujours positif ?
Non, le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ peut être négatif si l'angle $\theta$ est obtus (entre 90° et 180°). Il est nul si les vecteurs sont orthogonaux.
💡 À retenir : Le signe du produit scalaire dépend uniquement du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs.
Kifach n7seb l'équation dyal plan ila 3tani 3 dyal no9at?
💡 À retenir : Le produit vectoriel donne un vecteur normal au plan formé par les deux vecteurs.
Chno hiya lfar9 bin vecteur normal o vecteur directeur?
Le vecteur normal est perpendiculaire au plan, alors que le vecteur directeur est parallèle à la droite.
💡 À retenir : Normal = 90°, Directeur = 0° (parallèle).
Kifach n3ref wach mosta9im mوازي l plan?
Ila kan $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ (où $\vec{u}$ est le vecteur directeur de la droite et $\vec{n}$ le vecteur normal du plan), alors la droite est parallèle au plan.
💡 À retenir : Si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan, alors la droite est parallèle au plan.
Peut-on avoir une équation de plan sans le terme 'd' ?
Oui, si $d=0$, le plan passe par l'origine du repère $(0,0,0)$.
💡 À retenir : $d=0$ signifie que le plan est un sous-espace vectoriel.
Est-ce que deux plans sont toujours sécants ?
Non, ils peuvent être parallèles (si leurs vecteurs normaux sont colinéaires) ou confondus.
💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si $\vec{n_1} = k \vec{n_2}$.
Comment savoir si une droite est incluse dans un plan ?
Vérifie que la droite est parallèle au plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
Vérifie qu'un point de la droite appartient au plan.
💡 À retenir : Parallélisme + un point commun = inclusion.
Wach momkin nst3mlo produit scalaire f l'espace?
Oui, le produit scalaire est défini dans l'espace de la même manière que dans le plan : $xx' + yy' + zz'$.
💡 À retenir : Il permet de calculer des angles et des distances.
Quelle est la condition pour que deux droites soient orthogonales ?
Leurs vecteurs directeurs doivent avoir un produit scalaire nul.
💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Comment trouver l'intersection de deux plans ?
C'est un système de deux équations à trois inconnues. On exprime deux variables en fonction de la troisième (paramètre).
💡 À retenir : L'intersection est généralement une droite.
Est-ce que le vecteur normal est unique ?
Non, tout vecteur colinéaire à $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal.
💡 À retenir : $\vec{n}$ et $k\vec{n}$ définissent le même plan.
Comment calculer la distance entre deux plans parallèles ?
Tu prends un point quelconque du premier plan et tu calcules sa distance au deuxième plan.
💡 À retenir : La distance est constante entre deux plans parallèles.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Calculer la distance du point $B(0, 0, 1)$ au plan $(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$.