Géométrie · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA (architecture)

Géométrie descriptive : Projections orthogonales et sections planes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Projection orthogonale : La projection d'un point $M$ sur un plan $(P)$ est le point $M'$ tel que la droite $(MM')$ soit perpendiculaire au plan $(P)$ .
Sections planes : L'intersection d'un solide (cône, cylindre, sphère) par un plan $(Q)$ donne une courbe plane (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole).
Propriété fondamentale : Si une droite $(D)$ est perpendiculaire à un plan $(P)$ , alors elle est perpendiculaire à toute droite du plan $(P)$ passant par le point d'intersection.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : Utiliser la représentation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan.
Section d'un solide : Identifier la nature de la section en étudiant la position relative du plan sécant par rapport à l'axe du solide.
Vraie grandeur : Utiliser la méthode de rabattement pour obtenir la forme réelle d'une section plane.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit le plan $(P) : x + y + z - 3 = 0$ et le point $A(1, 1, 1)$ . La projection orthogonale $H$ de $A$ sur $(P)$ est l'intersection de $(P)$ avec la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{n}(1, 1, 1)$ . On trouve $H(1, 1, 1)$ , donc $A \in (P)$ .
Exemple 2 : La section d'un cylindre de révolution par un plan non parallèle à sa base est une ellipse.

Erreurs fréquentes

Confondre projection orthogonale et projection oblique.
Oublier de vérifier si le plan coupe réellement le solide avant de chercher la nature de la section.
Erreur de signe lors de la résolution du système $(D) \cap (P)$ .

L'essentiel du cours

Projection orthogonale : La projection d'un point $M$ sur un plan $(P)$ est le point $M'$ tel que la droite $(MM')$ soit perpendiculaire au plan $(P)$.
Sections planes : L'intersection d'un solide (cône, cylindre, sphère) par un plan $(Q)$ donne une courbe plane (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole).
Propriété fondamentale : Si une droite $(D)$ est perpendiculaire à un plan $(P)$, alors elle est perpendiculaire à toute droite du plan $(P)$ passant par le point d'intersection.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan : Utiliser la représentation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan.
Section d'un solide : Identifier la nature de la section en étudiant la position relative du plan sécant par rapport à l'axe du solide.
Vraie grandeur : Utiliser la méthode de rabattement pour obtenir la forme réelle d'une section plane.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit le plan $(P) : x + y + z - 3 = 0$ et le point $A(1, 1, 1)$. La projection orthogonale $H$ de $A$ sur $(P)$ est l'intersection de $(P)$ avec la droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{n}(1, 1, 1)$. On trouve $H(1, 1, 1)$, donc $A \in (P)$.
Exemple 2 : La section d'un cylindre de révolution par un plan non parallèle à sa base est une ellipse.

Erreurs fréquentes

Confondre projection orthogonale et projection oblique.
Oublier de vérifier si le plan coupe réellement le solide avant de chercher la nature de la section.
Erreur de signe lors de la résolution du système $(D) \cap (P)$.

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🎯 Géométrie descriptive : Projections orthogonales et sections planes

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La projection orthogonale d'un point $A$ sur un plan $(P)$ est le point $H$ tel que :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l' projection dyal no9ta 3la mostawa?

Trouve le vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ du plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$ .
Écris la représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{n}$ .
Remplace $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan pour trouver le paramètre $t$ .
Calcule les coordonnées de $H$ en remplaçant $t$ dans la droite.

💡 À retenir : La droite de projection est toujours perpendiculaire au plan.

Trouve le vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ du plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$.
Écris la représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{n}$.
Remplace $x, y, z$ de la droite dans l'équation du plan pour trouver le paramètre $t$.
Calcule les coordonnées de $H$ en remplaçant $t$ dans la droite.

💡 À retenir : La droite de projection est toujours perpendiculaire au plan.

Chno hiya l' far9 bin l' section f' cylindre o l' section f' kora?

Dans un cylindre, si le plan est parallèle à l'axe, la section est un rectangle. Si le plan est incliné, c'est une ellipse.
Dans une sphère, la section est toujours un cercle (ou un point si le plan est tangent).

💡 À retenir : La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle.

Wash l' section dyal l' kora katkon dima dayra?

Oui, l'intersection d'une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan $(P)$ est un cercle de centre $H$ (projection de $O$ sur $P$ ) et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ , où $d$ est la distance $OH$ . Si $d=R$ , le cercle est réduit à un point.

💡 À retenir : La distance du centre de la sphère au plan détermine le rayon du cercle section.

Oui, l'intersection d'une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ par un plan $(P)$ est un cercle de centre $H$ (projection de $O$ sur $P$) et de rayon $r = \sqrt{R^2 - d^2}$, où $d$ est la distance $OH$. Si $d=R$, le cercle est réduit à un point.

💡 À retenir : La distance du centre de la sphère au plan détermine le rayon du cercle section.

Comment démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?

Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ implique $(D) \perp (P)$ .

Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ implique $(D) \perp (P)$.

Quelle est la nature de la section d'un cône par un plan passant par le sommet ?

La section est soit un point (le sommet), soit une droite (génératrice), soit deux droites sécantes au sommet.

💡 À retenir : Le sommet appartient toujours à la section si le plan passe par lui.

Comment trouver la vraie grandeur d'une section ?

Il faut effectuer une rotation du plan de section pour le rendre parallèle au plan de projection (rabattement).

💡 À retenir : La vraie grandeur préserve les distances et les angles.

Est-ce que la projection orthogonale conserve le parallélisme ?

Oui, la projection orthogonale conserve le parallélisme des droites, mais pas forcément les longueurs.

💡 À retenir : Le rapport de projection dépend de l'angle entre la droite et le plan.

Comment définir un plan de projection ?

C'est un plan sur lequel on projette les points d'un objet pour obtenir une vue en 2D.

💡 À retenir : Le choix du plan définit la vue (face, profil, dessus).

Quelle est la condition pour qu'une section soit un cercle dans un cône ?

Le plan de section doit être perpendiculaire à l'axe de révolution du cône.

💡 À retenir : L'axe du cône est l'axe de symétrie de la section.

Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

Utiliser la formule $d(A, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

💡 À retenir : Cette distance est la longueur du segment $[AH]$ où $H$ est la projection orthogonale.

Utiliser la formule $d(A, P) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

💡 À retenir : Cette distance est la longueur du segment $[AH]$ où $H$ est la projection orthogonale.

Qu'est-ce qu'une ligne de rappel ?

C'est la droite reliant un point dans l'espace à sa projection sur le plan.

💡 À retenir : Les lignes de rappel sont perpendiculaires au plan de projection.

Chno l' fida dyal l' épure?

L'épure permet de représenter des objets 3D sur une feuille 2D en utilisant des projections successives.

💡 À retenir : L'épure est la base du dessin technique en architecture.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(S)$ une sphère de centre $O(0,0,0)$ et de rayon $R=5$ . Soit $(P)$ le plan d'équation $x+2y+2z-9=0$ .

Calculer la distance $d$ du point $O$ au plan $(P)$ .
Déterminer la nature de l'intersection de $(S)$ et $(P)$ et calculer son rayon $r$ .

Exercice 1

Soit $(S)$ une sphère de centre $O(0,0,0)$ et de rayon $R=5$. Soit $(P)$ le plan d'équation $x+2y+2z-9=0$.

Calculer la distance $d$ du point $O$ au plan $(P)$.
Déterminer la nature de l'intersection de $(S)$ et $(P)$ et calculer son rayon $r$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $A(1, 2, 3)$ et le plan $(P) : x - y + z = 0$ .

Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(P)$ .
Déterminer les coordonnées de $H$ , projection orthogonale de $A$ sur $(P)$ .

Exercice 2

Soit $A(1, 2, 3)$ et le plan $(P) : x - y + z = 0$.

Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(P)$.
Déterminer les coordonnées de $H$, projection orthogonale de $A$ sur $(P)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit un cylindre de révolution d'axe $(Oz)$ et de rayon $R=2$ . Un plan $(P)$ coupe le cylindre. Si $(P)$ est parallèle à $(Oz)$ , quelle est la nature de la section ? Justifier.

Exercice 3

Soit un cylindre de révolution d'axe $(Oz)$ et de rayon $R=2$. Un plan $(P)$ coupe le cylindre. Si $(P)$ est parallèle à $(Oz)$, quelle est la nature de la section ? Justifier.

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