Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — TSI

Électromagnétisme : Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un milieu conducteur ohmique de conductivité $\gamma$ , les équations de Maxwell imposent :

Loi d'Ohm locale : $\vec{j} = \gamma \vec{E}$ .
Équation de diffusion : $\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$ .
Approximation des milieux bons conducteurs : le terme de courant de conduction domine le courant de déplacement ( $\gamma \gg \epsilon_0 \omega$ ). L'équation devient $\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \approx \vec{0}$ .
Profondeur de peau : $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la validité de l'approximation du bon conducteur en comparant $\gamma$ et $\epsilon_0 \omega$ .
Établir l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell.
Calculer le vecteur de Poynting moyen pour évaluer la puissance transmise.
Utiliser la relation de dispersion pour trouver le vecteur d'onde complexe $\underline{k}$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\delta$ : Pour le cuivre ( $\gamma \approx 5,8 \times 10^7 \, \text{S/m}$ ) à $f=50 \, \text{Hz}$ , on trouve $\delta \approx 9,4 \, \text{mm}$ .
Atténuation : L'amplitude décroît selon $e^{-z/\delta}$ . À une profondeur $z = \delta$ , l'amplitude est divisée par $e \approx 2,718$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que dans un conducteur, l'onde est amortie (le vecteur d'onde est complexe).
Confondre la vitesse de phase dans le vide ( $c$ ) avec celle dans le conducteur.
Négliger le déphasage entre le champ électrique et le champ magnétique.

L'essentiel du cours

Dans un milieu conducteur ohmique de conductivité $\gamma$, les équations de Maxwell imposent :

Loi d'Ohm locale : $\vec{j} = \gamma \vec{E}$.
Équation de diffusion : $\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$.
Approximation des milieux bons conducteurs : le terme de courant de conduction domine le courant de déplacement ($\gamma \gg \epsilon_0 \omega$). L'équation devient $\Delta \vec{E} - \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \approx \vec{0}$.
Profondeur de peau : $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la validité de l'approximation du bon conducteur en comparant $\gamma$ et $\epsilon_0 \omega$.
Établir l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell.
Calculer le vecteur de Poynting moyen pour évaluer la puissance transmise.
Utiliser la relation de dispersion pour trouver le vecteur d'onde complexe $\underline{k}$.

Exemples corrigés

Calcul de $\delta$ : Pour le cuivre ($\gamma \approx 5,8 \times 10^7 , \text{S/m}$) à $f=50 , \text{Hz}$, on trouve $\delta \approx 9,4 , \text{mm}$.
Atténuation : L'amplitude décroît selon $e^{-z/\delta}$. À une profondeur $z = \delta$, l'amplitude est divisée par $e \approx 2,718$.

Erreurs fréquentes

Oublier que dans un conducteur, l'onde est amortie (le vecteur d'onde est complexe).
Confondre la vitesse de phase dans le vide ($c$) avec celle dans le conducteur.
Négliger le déphasage entre le champ électrique et le champ magnétique.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Électromagnétisme : Propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux conducteurs

1/4

La profondeur de peau $\delta$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n-3ref wach l-wasat "bon conducteur" wla la?

Calcule la pulsation $\omega = 2\pi f$ .
Compare la conductivité $\gamma$ avec le terme $\epsilon_0 \omega$ .
Si $\gamma \gg \epsilon_0 \omega$ , alors c'est un bon conducteur.

💡 À retenir : Le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon_0 \omega}$ détermine le régime de propagation.

Calcule la pulsation $\omega = 2\pi f$.
Compare la conductivité $\gamma$ avec le terme $\epsilon_0 \omega$.
Si $\gamma \gg \epsilon_0 \omega$, alors c'est un bon conducteur.

💡 À retenir : Le rapport $\frac{\gamma}{\epsilon_0 \omega}$ détermine le régime de propagation.

Est-ce que la vitesse de phase est constante dans un milieu conducteur ?

Non, elle dépend de la fréquence : $v_\phi = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu_0 \gamma}}$ . On dit que le milieu est dispersif.

💡 À retenir : La dispersion est une caractéristique fondamentale des milieux conducteurs.

Non, elle dépend de la fréquence : $v_\phi = \sqrt{\frac{2\omega}{\mu_0 \gamma}}$. On dit que le milieu est dispersif.

💡 À retenir : La dispersion est une caractéristique fondamentale des milieux conducteurs.

Chno hiya l-fayda dyal "profondeur de peau" ?

Elle indique la distance à partir de laquelle l'onde est pratiquement absorbée par le conducteur.

💡 À retenir : Plus la fréquence est élevée, plus l'onde reste en surface.

Kifach n-7seb l-mouwasiya gamma ila t-3tatni l-moqawama?

Utilise la relation $\gamma = \frac{L}{R \cdot S}$ où $L$ est la longueur, $S$ la section et $R$ la résistance.

💡 À retenir : La conductivité est l'inverse de la résistivité ( $\gamma = 1/\rho$ ).

Utilise la relation $\gamma = \frac{L}{R \cdot S}$ où $L$ est la longueur, $S$ la section et $R$ la résistance.

💡 À retenir : La conductivité est l'inverse de la résistivité ($\gamma = 1/\rho$).

Pourquoi le champ magnétique est déphasé par rapport au champ électrique ?

À cause de la nature complexe du vecteur d'onde $\underline{k}$ dans un milieu dissipatif, ce qui induit un déphasage de $\pi/4$ (45°).

💡 À retenir : Dans le vide, ils sont en phase ; dans un conducteur, le courant crée un retard.

À cause de la nature complexe du vecteur d'onde $\underline{k}$ dans un milieu dissipatif, ce qui induit un déphasage de $\pi/4$ (45°).

💡 À retenir : Dans le vide, ils sont en phase ; dans un conducteur, le courant crée un retard.

Est-ce que l'onde se propage à la vitesse c dans le conducteur ?

Absolument pas, la vitesse est beaucoup plus faible que $c$ à cause de l'interaction avec les porteurs de charge.

💡 À retenir : La vitesse dépend de $\gamma$ et $\omega$ .

Absolument pas, la vitesse est beaucoup plus faible que $c$ à cause de l'interaction avec les porteurs de charge.

💡 À retenir : La vitesse dépend de $\gamma$ et $\omega$.

Comment varie l'amplitude du champ avec la distance ?

Elle suit une loi exponentielle décroissante : $E(z) = E_0 e^{-z/\delta}$ .

💡 À retenir : L'énergie est dissipée par effet Joule.

Elle suit une loi exponentielle décroissante : $E(z) = E_0 e^{-z/\delta}$.

💡 À retenir : L'énergie est dissipée par effet Joule.

Quelle est la condition aux limites pour le champ électrique ?

La composante tangentielle du champ électrique est continue à l'interface entre deux milieux.

💡 À retenir : $\vec{E}_{1,t} = \vec{E}_{2,t}$ .

La composante tangentielle du champ électrique est continue à l'interface entre deux milieux.

💡 À retenir : $\vec{E}{1,t} = \vec{E}{2,t}$.

Le vecteur de Poynting est-il conservé ?

Non, il diminue avec la profondeur car une partie de l'énergie est convertie en chaleur.

💡 À retenir : $\text{div}(\vec{\Pi}) = -\vec{j} \cdot \vec{E} - \frac{\partial w}{\partial t}$ .

Non, il diminue avec la profondeur car une partie de l'énergie est convertie en chaleur.

💡 À retenir : $\text{div}(\vec{\Pi}) = -\vec{j} \cdot \vec{E} - \frac{\partial w}{\partial t}$.

Peut-on utiliser l'approximation du bon conducteur pour l'eau salée ?

Oui, à basse fréquence, l'eau salée se comporte comme un conducteur.

💡 À retenir : Tout dépend de la valeur de $\gamma$ .

Oui, à basse fréquence, l'eau salée se comporte comme un conducteur.

💡 À retenir : Tout dépend de la valeur de $\gamma$.

Quelle est l'unité de la profondeur de peau ?

Le mètre (m).

💡 À retenir : C'est une distance caractéristique.

L'équation de diffusion est-elle une équation d'onde classique ?

Non, elle ne possède pas de solution de type d'Alembert pure à cause du terme de dissipation.

💡 À retenir : C'est une équation parabolique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique monochromatique de fréquence $f = 10^6$ Hz se propage dans le cuivre ( $\gamma = 5,8 \times 10^7$ S/m).

Calculer la profondeur de peau $\delta$ .
Déterminer la distance à laquelle l'amplitude du champ est divisée par 10.

Exercice 1

Une onde plane électromagnétique monochromatique de fréquence $f = 10^6$ Hz se propage dans le cuivre ($\gamma = 5,8 \times 10^7$ S/m).

Calculer la profondeur de peau $\delta$.
Déterminer la distance à laquelle l'amplitude du champ est divisée par 10.

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Exercice 2

Démontrer l'équation de diffusion pour un conducteur ohmique à partir des équations de Maxwell.

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Exercice 3

Soit une onde incidente sur un conducteur. Expliquer pourquoi le champ électrique est quasi nul à l'intérieur d'un conducteur parfait.

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