Mécanique du point : Mouvement dans un champ de force centrale

1. Pour un satellite en orbite autour d'une planète, la 3ème loi de Kepler donne $T^2/a^3 = 4\pi^2 / (GM)$.
2. La masse du satellite $m$ n'apparaît pas dans cette relation.
3. Donc, la période ne dépend que de la masse de l'astre attracteur et du demi-grand axe.

💡 À retenir : La période est indépendante de la masse de l'objet en orbite.

1. On utilise la relation $E_m = \frac{k^2m}{2L^2}(e^2 - 1)$ pour un potentiel en $k/r$.
2. Ou bien on utilise les distances extrêmes : $e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p}$.
3. $e=0$ (cercle), $0 < e < 1$ (ellipse), $e=1$ (parabole), $e>1$ (hyperbole).

💡 À retenir : L'excentricité mesure l'écart de l'orbite par rapport au cercle.

1. Une force est centrale si son vecteur est toujours dirigé vers un point fixe $O$ (le centre de force).
2. Mathématiquement, cela signifie que $\vec{F} = f(r)\vec{u}_r$.
3. Si la force dérive d'une énergie potentielle, alors $E_p$ ne doit dépendre que de la distance $r = |\vec{OM}|$.

💡 À retenir : Une force centrale conserve toujours le moment cinétique par rapport au centre de force.

1. L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle : $E_m = E_c + E_p$.
2. En coordonnées polaires, $E_c = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)$.
3. Tu peux aussi utiliser le potentiel effectif : $E_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + E_{peff}(r)$.

💡 À retenir : $E_m$ est constante au cours du mouvement si le champ de force est conservatif.

1. Il permet de ramener un problème à 3D vers un problème à 1D (selon la coordonnée $r$).
2. Il aide à déterminer graphiquement les zones autorisées pour le mouvement ($E_m \geq E_{peff}$).
3. Il permet de trouver les rayons des orbites circulaires (là où $dE_{peff}/dr = 0$).

💡 À retenir : Le minimum du potentiel effectif correspond à une orbite circulaire stable.

1. Non, la forme dépend de l'énergie mécanique $E_m$ et de la nature de la force.
2. Pour une force en $1/r^2$ (gravitation), si $E_m < 0$, le mouvement est une ellipse (ou cercle).
3. Si $E_m \geq 0$, le mouvement est une parabole ou une hyperbole (trajectoire non fermée).

💡 À retenir : Seules les orbites avec $E_m < 0$ sont des états liés.

1. La loi des aires dit que $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{constante}$.
2. Si on te donne deux points $A$ et $B$, alors $\frac{Aire(A)}{dt} = \frac{Aire(B)}{dt}$.
3. Cela permet souvent de relier les vitesses aux distances par rapport au centre.

💡 À retenir : La vitesse est maximale au périhélie et minimale à l'aphélie.

1. Oui, le moment cinétique $\vec{L}_O$ dépend du point $O$ choisi comme origine.
2. Pour qu'il soit constant, il faut que le référentiel soit galiléen et que la force soit centrale par rapport à $O$.

💡 À retenir : Choisis toujours le centre de force comme origine pour simplifier le calcul de $\vec{L}$.

1. Le périhélie est le point le plus proche du centre de force ($r_{min}$).
2. L'aphélie est le point le plus éloigné du centre de force ($r_{max}$).
3. À ces deux points, la vitesse radiale $\dot{r}$ est nulle.

💡 À retenir : En ces points, le vecteur vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur.

1. On utilise le théorème du moment cinétique : $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O(\vec{F})$.
2. Comme la force est centrale, $\vec{F}$ est colinéaire à $\vec{r}$, donc $\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \wedge \vec{F} = \vec{0}$.
3. Donc $\vec{L}_O$ est constant. Comme $\vec{L}_O = \vec{r} \wedge m\vec{v}$, le vecteur $\vec{r}$ reste dans un plan perpendiculaire à $\vec{L}_O$.

💡 À retenir : $\vec{L}_O$ constant signifie que le vecteur position reste dans un plan fixe.

1. Parce que la distance $r$ varie.
2. Par conservation du moment cinétique $L = mrv_\theta = \text{cste}$, donc $v_\theta \propto 1/r$.
3. De plus, l'énergie potentielle varie, donc l'énergie cinétique doit varier pour que $E_m$ reste constante.

💡 À retenir : La conservation de l'énergie impose une variation de la vitesse.

1. Non, il existe d'autres forces centrales comme la force électrostatique (loi de Coulomb).
2. La forme mathématique est souvent la même (en $1/r^2$), mais les constantes changent.
3. Le programme traite principalement le cas gravitationnel pour les satellites.

💡 À retenir : Les lois de Kepler s'appliquent à toute force en $1/r^2$.