Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

النهايات مادة الرياضيات أولى باك علوم الاقتصاد والتدبير

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Limites des fonctions usuelles

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ (si $n$ est pair) ou $-\infty$ (si $n$ est impair).
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ .
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ .

2. Limites à l'infini

Polynôme : La limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
Fonction rationnelle : La limite en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

3. Formes Indéterminées (F.I)

Il existe 4 formes qu'on ne peut pas calculer directement : $\frac{0}{0} \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad (+\infty) + (-\infty) \quad ; \quad 0 \times \infty$

4. Limites et ordre

Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $L > 0$ , alors $f(x) > 0$ au voisinage de $a$ .
Si $f(x) \leq g(x)$ , alors $\lim f(x) \leq \lim g(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Lever l'indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Utiliser la règle du plus haut degré (pour les fonctions rationnelles) ou factoriser par le terme dominant.
Lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ : Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ puis simplifier.
Étude de signe : Pour calculer $\lim_{x \to a} \frac{L}{0}$ , il faut étudier le signe du dénominateur à droite et à gauche de $a$ .

Exemples corrigés

$\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + x - 5) = \lim_{x \to +\infty} -2x^3 = -\infty$ .
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$ .
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Erreurs fréquentes

Écrire $\frac{L}{0} = \infty$ sans préciser le signe de $0$ ( $0^+$ ou $0^-$ ).
Appliquer la règle du plus haut degré quand $x$ tend vers un nombre (elle ne marche qu'à l'infini).
Confuser $+\infty \times -\infty$ (qui donne $-\infty$ ) avec une forme indéterminée.

L'essentiel du cours

1. Limites des fonctions usuelles

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ (si $n$ est pair) ou $-\infty$ (si $n$ est impair).
$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^n} = 0$.
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

2. Limites à l'infini

Polynôme : La limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
Fonction rationnelle : La limite en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite du rapport des termes de plus haut degré.

3. Formes Indéterminées (F.I)

Il existe 4 formes qu'on ne peut pas calculer directement : $$\frac{0}{0} \quad ; \quad \frac{\infty}{\infty} \quad ; \quad (+\infty) + (-\infty) \quad ; \quad 0 \times \infty$$

4. Limites et ordre

Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $L > 0$, alors $f(x) > 0$ au voisinage de $a$.
Si $f(x) \leq g(x)$, alors $\lim f(x) \leq \lim g(x)$.

Méthodes à maîtriser

Lever l'indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Utiliser la règle du plus haut degré (pour les fonctions rationnelles) ou factoriser par le terme dominant.
Lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ : Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ puis simplifier.
Étude de signe : Pour calculer $\lim_{x \to a} \frac{L}{0}$, il faut étudier le signe du dénominateur à droite et à gauche de $a$.

Exemples corrigés

$\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + x - 5) = \lim_{x \to +\infty} -2x^3 = -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$.
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.

Erreurs fréquentes

Écrire $\frac{L}{0} = \infty$ sans préciser le signe de $0$ ($0^+$ ou $0^-$).
Appliquer la règle du plus haut degré quand $x$ tend vers un nombre (elle ne marche qu'à l'infini).
Confuser $+\infty \times -\infty$ (qui donne $-\infty$) avec une forme indéterminée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 النهايات مادة الرياضيات أولى باك علوم الاقتصاد والتدبير

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Quelle est la limite de $f(x) = -5x^4 + 2x$ en $-\infty$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

Une forme indéterminée est une situation où les règles de calcul usuelles sur les limites ne permettent pas de conclure directement sur le résultat. Ce n'est pas un résultat final, mais un signal qu'il faut transformer l'expression mathématique (factoriser, simplifier) pour trouver la vraie limite.

Il y en a quatre : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $+\infty - \infty$ et $0 \times \infty$ .
Pour les lever, on utilise souvent la factorisation ou le plus haut degré.

💡 À retenir : Une F.I. signifie "je dois encore travailler sur l'expression".

Il y en a quatre : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $+\infty - \infty$ et $0 \times \infty$.
Pour les lever, on utilise souvent la factorisation ou le plus haut degré.

💡 À retenir : Une F.I. signifie "je dois encore travailler sur l'expression".

Kifach n7seb limite dyal dala fiha l-kassr f +infty?

Melli katkon $x$ kat9reb l $+\infty$ aw $-\infty$ f dala rationnelle (kassr fih des polynômes) :

Akhed akbar os f l-bast (numérateur).
Akhed akbar os f l-ma9am (dénominateur).
Dir l-9isma binat-hom o khtazel b $x$ .
7seb l-limite dyal dakchi li b9a.

💡 À retenir : À l'infini, seul le plus haut degré compte pour les fractions rationnelles.

Melli katkon $x$ kat9reb l $+\infty$ aw $-\infty$ f dala rationnelle (kassr fih des polynômes) :

Akhed akbar os f l-bast (numérateur).
Akhed akbar os f l-ma9am (dénominateur).
Dir l-9isma binat-hom o khtazel b $x$.
7seb l-limite dyal dakchi li b9a.

💡 À retenir : À l'infini, seul le plus haut degré compte pour les fractions rationnelles.

Comment savoir si c'est 0^+ ou 0^- au dénominateur ?

Il faut étudier le signe de l'expression qui est au dénominateur autour de la valeur interdite :

Résoudre l'équation $Dénominateur = 0$ .
Dresser le tableau de signe de cette expression.
Regarder le signe à droite de la valeur (pour $a^+$ ) et à gauche (pour $a^-$ ).

💡 À retenir : Le signe du dénominateur détermine si la limite est $+\infty$ ou $-\infty$ .

Il faut étudier le signe de l'expression qui est au dénominateur autour de la valeur interdite :

Résoudre l'équation $Dénominateur = 0$.
Dresser le tableau de signe de cette expression.
Regarder le signe à droite de la valeur (pour $a^+$) et à gauche (pour $a^-$).

💡 À retenir : Le signe du dénominateur détermine si la limite est $+\infty$ ou $-\infty$.

Chno hiya l-far9 bin x to 2 o x to 2^+?

$x \to 2$ t3ni $x$ kat9reb l 2 mn jiht l-limin o l-yissar.
$x \to 2^+$ t3ni $x$ kat9reb l 2 walakin dima kbar mn 2 ( $x > 2$ ).
Kandiro had l-far9 khousoussan melli kikon l-ma9am fih sifr, bach n3erfo wach sifr moujab aw salib.

💡 À retenir : $2^+$ signifie "un peu plus que 2", $2^-$ signifie "un peu moins que 2".

$x \to 2$ t3ni $x$ kat9reb l 2 mn jiht l-limin o l-yissar.
$x \to 2^+$ t3ni $x$ kat9reb l 2 walakin dima kbar mn 2 ($x > 2$).
Kandiro had l-far9 khousoussan melli kikon l-ma9am fih sifr, bach n3erfo wach sifr moujab aw salib.

💡 À retenir : $2^+$ signifie "un peu plus que 2", $2^-$ signifie "un peu moins que 2".

Peut-on avoir une limite finie à l'infini ?

Oui, c'est tout à fait possible.

Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ .
Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche d'une droite horizontale.
On appelle cette droite une asymptote horizontale d'équation $y = L$ .

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ , alors $y=L$ est une asymptote horizontale.

Oui, c'est tout à fait possible.

Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.
Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche d'une droite horizontale.
On appelle cette droite une asymptote horizontale d'équation $y = L$.

💡 À retenir : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, alors $y=L$ est une asymptote horizontale.

Imta kandiro l-9isma l-o9lidiya (division euclidienne)?

Kandiroha melli kikon 3andna limite f 3adad $a$ o kital3 lina $\frac{0}{0}$ :

Kat3ni ana l-bast o l-ma9am bjoj kiy9blo l-9isma 3la $(x-a)$ .
Kandiro l-9isma bach nfactorisiw o nkhtazlo b $(x-a)$ .
Katssahel 3lina l-7isab o katzoul l-forme indéterminée.

💡 À retenir : La division par $(x-a)$ aide à simplifier les formes $0/0$ .

Kandiroha melli kikon 3andna limite f 3adad $a$ o kital3 lina $\frac{0}{0}$ :

Kat3ni ana l-bast o l-ma9am bjoj kiy9blo l-9isma 3la $(x-a)$.
Kandiro l-9isma bach nfactorisiw o nkhtazlo b $(x-a)$.
Katssahel 3lina l-7isab o katzoul l-forme indéterminée.

💡 À retenir : La division par $(x-a)$ aide à simplifier les formes $0/0$.

Quelle est la limite d'un nombre constant ?

La limite d'une constante est la constante elle-même, peu importe vers quoi tend $x$ .

$\lim_{x \to a} k = k$ .
$\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$ .

💡 À retenir : Une constante ne change pas, sa limite reste fixe.

La limite d'une constante est la constante elle-même, peu importe vers quoi tend $x$.

$\lim_{x \to a} k = k$.
$\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$.

💡 À retenir : Une constante ne change pas, sa limite reste fixe.

Comment calculer lim{x to 0} frac{x^2+3x}{x} ?

Si on remplace directement, on trouve $\frac{0}{0}$ (F.I.).

On factorise le numérateur par $x$ : $x^2+3x = x(x+3)$ .
On simplifie par $x$ : $\frac{x(x+3)}{x} = x+3$ .
On calcule la limite du résultat : $\lim_{x \to 0} (x+3) = 3$ .

💡 À retenir : Toujours essayer de factoriser avant de dire que c'est impossible.

Si on remplace directement, on trouve $\frac{0}{0}$ (F.I.).

On factorise le numérateur par $x$ : $x^2+3x = x(x+3)$.
On simplifie par $x$ : $\frac{x(x+3)}{x} = x+3$.
On calcule la limite du résultat : $\lim_{x \to 0} (x+3) = 3$.

💡 À retenir : Toujours essayer de factoriser avant de dire que c'est impossible.

Que signifie une limite égale à l'infini en un point a ?

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ :

Cela signifie que plus $x$ s'approche de $a$ , plus les valeurs de $f(x)$ deviennent extrêmement grandes ou petites.
Graphiquement, la courbe possède une asymptote verticale d'équation $x = a$ .

💡 À retenir : Limite infinie en un point = Asymptote verticale.

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ :

Cela signifie que plus $x$ s'approche de $a$, plus les valeurs de $f(x)$ deviennent extrêmement grandes ou petites.
Graphiquement, la courbe possède une asymptote verticale d'équation $x = a$.

💡 À retenir : Limite infinie en un point = Asymptote verticale.

Est-ce que +infty + infty est une forme indéterminée ?

Non, ce n'est pas une forme indéterminée.

Si vous ajoutez quelque chose de très grand à quelque chose de très grand, le résultat est encore plus grand.
$+\infty + \infty = +\infty$ .
De même, $-\infty - \infty = -\infty$ .

💡 À retenir : Seul le mélange $+\infty - \infty$ est indéterminé.

Non, ce n'est pas une forme indéterminée.

Si vous ajoutez quelque chose de très grand à quelque chose de très grand, le résultat est encore plus grand.
$+\infty + \infty = +\infty$.
De même, $-\infty - \infty = -\infty$.

💡 À retenir : Seul le mélange $+\infty - \infty$ est indéterminé.

Comment traiter la limite d'une racine carrée à l'infini ?

Pour $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}$ :

La racine d'un nombre très grand est aussi un nombre très grand.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$ .
Attention : la limite en $-\infty$ n'existe pas car la racine n'est pas définie pour les nombres négatifs.

💡 À retenir : $\sqrt{x}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Pour $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}$ :

La racine d'un nombre très grand est aussi un nombre très grand.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
Attention : la limite en $-\infty$ n'existe pas car la racine n'est pas définie pour les nombres négatifs.

💡 À retenir : $\sqrt{x}$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Kifach n7seb limite dyal f(x) = frac{2x-4}{x-2} f 2?

Ila 3owadti ghadi tl9a $\frac{0}{0}$ (F.I.).
Khassna n3emlo : $2x-4 = 2(x-2)$ .
Nghitazlo b $(x-2)$ : l-dala katoli hiya 2.
L-limite hiya 2.

💡 À retenir : La simplification directe est la méthode la plus rapide pour $0/0$ .

Ila 3owadti ghadi tl9a $\frac{0}{0}$ (F.I.).
Khassna n3emlo : $2x-4 = 2(x-2)$.
Nghitazlo b $(x-2)$ : l-dala katoli hiya 2.
L-limite hiya 2.

💡 À retenir : La simplification directe est la méthode la plus rapide pour $0/0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$ .

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5x}$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 1}{2x^2 + 5x}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{x+1}{x-3}$ .

Déterminer le domaine de définition $D_g$ .
Calculer $\lim_{x \to 3^+}$ et $\lim_{x \to 3^-}$ .
Interpréter graphiquement les résultats.

Exercice 3

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{x+1}{x-3}$.

Déterminer le domaine de définition $D_g$.
Calculer $\lim_{x \to 3^+}$ et $\lim_{x \to 3^-}$.
Interpréter graphiquement les résultats.

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