Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

المعادلات و المتراجحات و النظمات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Équations et Inéquations du premier degré

Une équation du premier degré est de la forme $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$ ). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$ . Une inéquation du premier degré est de la forme $ax + b \ge 0$ (ou $<, >, \le$ ). Règle d'or : Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

2. Équations et Inéquations produits et quotients

Pour résoudre $(ax+b)(cx+d) \ge 0$ ou $\frac{ax+b}{cx+d} \ge 0$ :

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur (les racines).
On dresse un tableau de signes.
On choisit l'intervalle qui correspond au signe demandé. Attention : Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite.

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Un système est de la forme : $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ On peut le résoudre par :

La substitution : On exprime $x$ en fonction de $y$ dans une équation, puis on remplace dans l'autre.
La combinaison (ou addition) : On multiplie les équations par des nombres pour éliminer une inconnue en les additionnant.

Méthodes à maîtriser

Résolution par tableau de signes : Indispensable pour les produits et les quotients.
Méthode de substitution : Idéale quand une variable est déjà "seule" (ex: $x = \dots$ ).
Méthode d'addition : Plus rapide quand les coefficients sont faciles à égaliser.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Inéquation produit Résoudre $(x - 2)(2x + 4) \le 0$ .

Racines : $x-2=0 \implies x=2$ et $2x+4=0 \implies x=-2$ .
Tableau de signes :
- $x-2$ est négatif sur $]-\infty, 2[$ .
- $2x+4$ est négatif sur $]-\infty, -2[$ .
Le produit est $\le 0$ sur $S = [-2, 2]$ .

Exemple 2 : Système par substitution $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

De la 1ère ligne : $x = 5 - y$ .
On remplace dans la 2ème : $2(5 - y) - y = 1 \implies 10 - 2y - y = 1 \implies -3y = -9 \implies y = 3$ .
On trouve $x$ : $x = 5 - 3 = 2$ . $S = \{(2, 3)\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors d'une multiplication par un nombre négatif.
Confondre le signe de l'expression et le signe de la racine dans le tableau.
Inclure la valeur interdite (le dénominateur nul) dans l'ensemble des solutions d'une inéquation quotient.

L'essentiel du cours

1. Équations et Inéquations du premier degré

Une équation du premier degré est de la forme $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$. Une inéquation du premier degré est de la forme $ax + b \ge 0$ (ou $<, >, \le$). Règle d'or : Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

2. Équations et Inéquations produits et quotients

Pour résoudre $(ax+b)(cx+d) \ge 0$ ou $\frac{ax+b}{cx+d} \ge 0$ :

On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur (les racines).
On dresse un tableau de signes.
On choisit l'intervalle qui correspond au signe demandé. Attention : Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite.

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Un système est de la forme : $$\begin{cases} ax + by = c \ a'x + b'y = c' \end{cases}$$ On peut le résoudre par :

La substitution : On exprime $x$ en fonction de $y$ dans une équation, puis on remplace dans l'autre.
La combinaison (ou addition) : On multiplie les équations par des nombres pour éliminer une inconnue en les additionnant.

Méthodes à maîtriser

Résolution par tableau de signes : Indispensable pour les produits et les quotients.
Méthode de substitution : Idéale quand une variable est déjà "seule" (ex: $x = \dots$).
Méthode d'addition : Plus rapide quand les coefficients sont faciles à égaliser.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Inéquation produit Résoudre $(x - 2)(2x + 4) \le 0$.

Racines : $x-2=0 \implies x=2$ et $2x+4=0 \implies x=-2$.
Tableau de signes :
- $x-2$ est négatif sur $]-\infty, 2[$.
- $2x+4$ est négatif sur $]-\infty, -2[$.
Le produit est $\le 0$ sur $S = [-2, 2]$.

Exemple 2 : Système par substitution $$\begin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 1 \end{cases}$$

De la 1ère ligne : $x = 5 - y$.
On remplace dans la 2ème : $2(5 - y) - y = 1 \implies 10 - 2y - y = 1 \implies -3y = -9 \implies y = 3$.
On trouve $x$ : $x = 5 - 3 = 2$. $S = {(2, 3)}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors d'une multiplication par un nombre négatif.
Confondre le signe de l'expression et le signe de la racine dans le tableau.
Inclure la valeur interdite (le dénominateur nul) dans l'ensemble des solutions d'une inéquation quotient.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المعادلات و المتراجحات و النظمات

1/4

Quelle est la solution de $2x + 5 = 1$ ?

Quelle est la solution de $2x + 5 = 1$?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-ichara dyal ax+b?

On cherche la valeur qui annule l'expression : $x = -\frac{b}{a}$ .
On regarde le signe de $a$ $a$ (le coefficient de $x$ $x$ ) :
- À droite de la racine, c'est le signe de $a$ .
- À gauche de la racine, c'est le signe opposé de $a$ .

💡 À retenir : Signe de $a$ à droite, signe contraire à gauche.

On cherche la valeur qui annule l'expression : $x = -\frac{b}{a}$.
On regarde le signe de $a$ (le coefficient de $x$) :
- À droite de la racine, c'est le signe de $a$.
- À gauche de la racine, c'est le signe opposé de $a$.

💡 À retenir : Signe de $a$ à droite, signe contraire à gauche.

Chno ndir ila kant l-mo3adala fiha l-maqam (dénominateur) sifr?

On ne doit jamais diviser par zéro. La valeur qui annule le dénominateur est appelée "valeur interdite". Dans le tableau de signes, on utilise une double barre ( $||$ ) pour l'indiquer.

💡 À retenir : Valeur interdite $\implies$ Double barre dans le tableau.

On ne doit jamais diviser par zéro. La valeur qui annule le dénominateur est appelée "valeur interdite". Dans le tableau de signes, on utilise une double barre ($||$) pour l'indiquer.

💡 À retenir : Valeur interdite $\implies$ Double barre dans le tableau.

Kifach n7el system b l-ta3wid (substitution)?

Choisis l'équation la plus simple.
Isole une inconnue (ex: $x = \dots$ ).
Remplace cette expression dans l'autre équation.
Résous l'équation obtenue pour trouver la première inconnue.
Remplace pour trouver la deuxième.

💡 À retenir : Isoler $\to$ Remplacer $\to$ Résoudre.

Choisis l'équation la plus simple.
Isole une inconnue (ex: $x = \dots$).
Remplace cette expression dans l'autre équation.
Résous l'équation obtenue pour trouver la première inconnue.
Remplace pour trouver la deuxième.

💡 À retenir : Isoler $\to$ Remplacer $\to$ Résoudre.

Chno hiya l-mo3adala dyal l-daraja l-oula?

C'est une équation où l'exposant de l'inconnue $x$ est 1 (ex: $3x + 5 = 0$ ). Elle a au maximum une seule solution.

💡 À retenir : Pas de $x^2$ ou $x^3$ dans une équation du 1er degré.

C'est une équation où l'exposant de l'inconnue $x$ est 1 (ex: $3x + 5 = 0$). Elle a au maximum une seule solution.

💡 À retenir : Pas de $x^2$ ou $x^3$ dans une équation du 1er degré.

Kifach n3ref l-hal dyal l-mo3adala dyal l-darb (produit)?

Si on a $A \times B = 0$ , alors soit $A = 0$ , soit $B = 0$ . On résout chaque petite équation séparément.

💡 À retenir : Produit nul $\implies$ l'un des facteurs est nul.

Si on a $A \times B = 0$, alors soit $A = 0$, soit $B = 0$. On résout chaque petite équation séparément.

💡 À retenir : Produit nul $\implies$ l'un des facteurs est nul.

Chno ndir ila kan l-mo3amil (coefficient) dyal x salib f l-inéquation?

Si tu as $-2x < 4$ , en divisant par $-2$ , tu dois impérativement inverser le signe : $x > \frac{4}{-2}$ , donc $x > -2$ .

💡 À retenir : Division par un nombre négatif $\implies$ Inversion du signe.

Si tu as $-2x < 4$, en divisant par $-2$, tu dois impérativement inverser le signe : $x > \frac{4}{-2}$, donc $x > -2$.

💡 À retenir : Division par un nombre négatif $\implies$ Inversion du signe.

Chno hiya l-majmo3a dyal l-7oloul S?

C'est l'ensemble qui contient toutes les solutions trouvées. On l'écrit $S = \{ \dots \}$ .

💡 À retenir : Toujours noter le résultat sous la forme $S = \dots$ .

C'est l'ensemble qui contient toutes les solutions trouvées. On l'écrit $S = { \dots }$.

💡 À retenir : Toujours noter le résultat sous la forme $S = \dots$.

Kifach n7el (x-1)/(x+2) 0?

Valeurs critiques : $x=1$ (numérateur) et $x=-2$ (dénominateur/interdite).
Tableau de signes avec les trois colonnes : $x$ , $(x-1)$ , $(x+2)$ et le quotient.
On prend les zones où le résultat est " $+$ ".

💡 À retenir : Utiliser un tableau de signes pour les quotients.

Valeurs critiques : $x=1$ (numérateur) et $x=-2$ (dénominateur/interdite).
Tableau de signes avec les trois colonnes : $x$, $(x-1)$, $(x+2)$ et le quotient.
On prend les zones où le résultat est "$+$".

💡 À retenir : Utiliser un tableau de signes pour les quotients.

Chno hiya l-mo3adala dyal l-jam3 (addition) f system?

C'est la méthode où on multiplie les lignes du système par des nombres pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (ex: $2x$ et $-2x$ ), puis on additionne les deux lignes pour éliminer cette inconnue.

💡 À retenir : Addition $\implies$ Élimination d'une variable.

C'est la méthode où on multiplie les lignes du système par des nombres pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (ex: $2x$ et $-2x$), puis on additionne les deux lignes pour éliminer cette inconnue.

💡 À retenir : Addition $\implies$ Élimination d'une variable.

Kifach n7seb l-ichara dyal l-mo3adala f l-jadwal?

On place la racine au milieu. On met le signe de $a$ à droite et le signe contraire à gauche.

💡 À retenir : Droite $\to$ signe de $a$ ; Gauche $\to$ signe de $-a$ .

On place la racine au milieu. On met le signe de $a$ à droite et le signe contraire à gauche.

💡 À retenir : Droite $\to$ signe de $a$ ; Gauche $\to$ signe de $-a$.

Chno l-farq bin ge 0 w 0?

$\ge 0$ signifie "positif ou nul" (on inclut la racine dans l'intervalle avec des crochets fermés $[ \ ]$ ). $> 0$ signifie "strictement positif" (on exclut la racine avec des crochets ouverts $] \ [$ ).

💡 À retenir : Le signe de l'inégalité détermine si les crochets sont ouverts ou fermés.

$\ge 0$ signifie "positif ou nul" (on inclut la racine dans l'intervalle avec des crochets fermés $[ \ ]$). $> 0$ signifie "strictement positif" (on exclut la racine avec des crochets ouverts $] \ [$).

💡 À retenir : Le signe de l'inégalité détermine si les crochets sont ouverts ou fermés.

Chno hiya l-farq bin equation w inéquation?

L'équation est une égalité ( $=$ ) où l'on cherche une valeur précise. L'inéquation est une inégalité ( $<, >, \le, \ge$ ) où l'on cherche un intervalle de valeurs.

💡 À retenir : L'équation donne un point (ex: $x=2$ ), l'inéquation donne souvent un intervalle (ex: $x \ge 2$ ).

L'équation est une égalité ($=$) où l'on cherche une valeur précise. L'inéquation est une inégalité ($<, >, \le, \ge$) où l'on cherche un intervalle de valeurs.

💡 À retenir : L'équation donne un point (ex: $x=2$), l'inéquation donne souvent un intervalle (ex: $x \ge 2$).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile)

Résoudre l'équation : $4x - 12 = 0$ .
Résoudre l'inéquation : $3x + 9 \le 0$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile)

Résoudre l'équation : $4x - 12 = 0$.
Résoudre l'inéquation : $3x + 9 \le 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante en utilisant un tableau de signes : $\frac{2x - 6}{x + 1} \ge 0$

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante en utilisant un tableau de signes : $$\frac{2x - 6}{x + 1} \ge 0$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen)

Résoudre le système suivant par la méthode de votre choix : $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$
Soit l'inéquation $(x - 1)(x + 4) < 0$ . Déterminer l'ensemble des solutions.

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen)

Résoudre le système suivant par la méthode de votre choix : $$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 5x - 2y = 4 \end{cases}$$
Soit l'inéquation $(x - 1)(x + 4) < 0$. Déterminer l'ensemble des solutions.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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