Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

عموميات حول الدول العددية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : C'est l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. Pour $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , on pose $Q(x) \neq 0$ . Pour $f(x) = \sqrt{u(x)}$ , on pose $u(x) \geq 0$ .
Parité :
- Paire : $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- Impaire : $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : On calcule le taux $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ . Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $\forall x \in D_f, f(x) \leq f(a)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ en résolvant des inéquations.
Étudier la parité en calculant $f(-x)$ et en comparant avec $f(x)$ .
Dresser le tableau de variations en utilisant le taux de variation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que le domaine doit être symétrique par rapport à 0 pour étudier la parité.
Confondre le signe du taux de variation avec le signe de la fonction.
Ne pas exclure les valeurs interdites dans le domaine de définition.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : C'est l'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. Pour $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, on pose $Q(x) \neq 0$. Pour $f(x) = \sqrt{u(x)}$, on pose $u(x) \geq 0$.
Parité :
- Paire : $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
- Impaire : $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : On calcule le taux $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$. Si $T > 0$ la fonction est croissante, si $T < 0$ elle est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $\forall x \in D_f, f(x) \leq f(a)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ en résolvant des inéquations.
Étudier la parité en calculant $f(-x)$ et en comparant avec $f(x)$.
Dresser le tableau de variations en utilisant le taux de variation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Exemple 2 : $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que le domaine doit être symétrique par rapport à 0 pour étudier la parité.
Confondre le signe du taux de variation avec le signe de la fonction.
Ne pas exclure les valeurs interdites dans le domaine de définition.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 عموميات حول الدول العددية

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{x-5}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction rationnelle ?

Identifie le dénominateur de la fraction.
Résous l'équation : dénominateur = 0.
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées.

💡 À retenir : On ne peut jamais diviser par zéro.

Identifie le dénominateur de la fraction.
Résous l'équation : dénominateur = 0.
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées.

💡 À retenir : On ne peut jamais diviser par zéro.

Kifach n3ref wach la fonction paire awla impaire ?

Vérifie d'abord si le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Si $f(-x)$ n'est ni égal à $f(x)$ ni à $-f(x)$ , la fonction n'a pas de parité.

Vérifie d'abord si le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Si $f(-x)$ n'est ni égal à $f(x)$ ni à $-f(x)$, la fonction n'a pas de parité.

C'est quoi un taux d'accroissement ?

C'est le rapport $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ avec $x_1 \neq x_2$ . Il permet de déterminer si la fonction monte ou descend sur un intervalle.

💡 À retenir : Si $T > 0$ alors la fonction est croissante.

C'est le rapport $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ avec $x_1 \neq x_2$. Il permet de déterminer si la fonction monte ou descend sur un intervalle.

💡 À retenir : Si $T > 0$ alors la fonction est croissante.

Chno hiya la différence bin fonction majorée et fonction minorée ?

Une fonction est majorée s'il existe un nombre $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x$ .
Une fonction est minorée s'il existe un nombre $m$ tel que $f(x) \geq m$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Si elle est les deux, on dit qu'elle est bornée.

Une fonction est majorée s'il existe un nombre $M$ tel que $f(x) \leq M$ pour tout $x$.
Une fonction est minorée s'il existe un nombre $m$ tel que $f(x) \geq m$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Si elle est les deux, on dit qu'elle est bornée.

Comment démontrer qu'une fonction est croissante ?

Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments de l'intervalle tels que $x_1 < x_2$ .
Calcule $f(x_1) - f(x_2)$ .
Si le résultat est négatif, alors $f(x_1) < f(x_2)$ , donc la fonction est croissante.

💡 À retenir : La croissance signifie que l'ordre est conservé.

Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments de l'intervalle tels que $x_1 < x_2$.
Calcule $f(x_1) - f(x_2)$.
Si le résultat est négatif, alors $f(x_1) < f(x_2)$, donc la fonction est croissante.

💡 À retenir : La croissance signifie que l'ordre est conservé.

Kifach n7seb l'image dyal wahed l'intervalle ?

Si la fonction est croissante, l'image de $[a, b]$ est $[f(a), f(b)]$ .
Si elle est décroissante, l'image est $[f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier la monotonie avant de calculer l'image.

Si la fonction est croissante, l'image de $[a, b]$ est $[f(a), f(b)]$.
Si elle est décroissante, l'image est $[f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier la monotonie avant de calculer l'image.

Est-ce qu'une fonction peut être ni paire ni impaire ?

Oui, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (par exemple $f(x) = x^2 + x$ ).

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Oui, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (par exemple $f(x) = x^2 + x$).

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

C'est quoi un extremum ?

C'est la valeur maximale ou minimale que peut prendre la fonction sur son ensemble de définition.

💡 À retenir : Un extremum est une valeur atteinte par la fonction.

Pourquoi on étudie la parité ?

Pour réduire l'intervalle d'étude : si la fonction est paire ou impaire, on étudie seulement la partie positive et on déduit l'autre par symétrie.

💡 À retenir : Cela permet de gagner du temps lors du tracé de la courbe.

Est-ce que le domaine de définition d'une racine carrée est toujours mathbb{R}^+ ?

Non, c'est l'ensemble des $x$ tels que ce qui est sous la racine soit positif ou nul.

💡 À retenir : Résous toujours l'inéquation $u(x) \geq 0$ .

Non, c'est l'ensemble des $x$ tels que ce qui est sous la racine soit positif ou nul.

💡 À retenir : Résous toujours l'inéquation $u(x) \geq 0$.

Comment savoir si un point appartient à la courbe ?

Si tu as un point $A(x_0, y_0)$ , il appartient à la courbe si et seulement si $f(x_0) = y_0$ .

💡 À retenir : Remplace $x$ par l'abscisse et vérifie si tu obtiens l'ordonnée.

Si tu as un point $A(x_0, y_0)$, il appartient à la courbe si et seulement si $f(x_0) = y_0$.

💡 À retenir : Remplace $x$ par l'abscisse et vérifie si tu obtiens l'ordonnée.

Est-ce que le taux d'accroissement change si on inverse x1 et x2 ?

Non, car $\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ . Le résultat reste le même.

💡 À retenir : L'ordre des points n'a pas d'importance pour le calcul.

Non, car $\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Le résultat reste le même.

💡 À retenir : L'ordre des points n'a pas d'importance pour le calcul.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer le taux de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty, 2]$ et $[2, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Déterminer $D_f$.
Calculer le taux de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
En déduire les variations de $f$ sur $]-\infty, 2]$ et $[2, +\infty[$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Montrer que $D_f = \mathbb{R}$ .
Étudier la parité de $f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Montrer que $D_f = \mathbb{R}$.
Étudier la parité de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x-3}$ .

Déterminer $D_f$ .
Montrer que $f$ est croissante sur $[3, +\infty[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x-3}$.

Déterminer $D_f$.
Montrer que $f$ est croissante sur $[3, +\infty[$.

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