Physique · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA Meknès (agriculture)

Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pendule élastique (ressort-masse) : Système composé d'un ressort de raideur $k$ et d'un solide de masse $m$ . L'équation différentielle est : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ . La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Pendule simple : Masse $m$ suspendue à un fil de longueur $l$ . Pour des oscillations de faible amplitude ( $\theta < 10^\circ$ ), l'équation est : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$ . La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .
Solution générale : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$ .

Méthodes à maîtriser

Établissement de l'équation différentielle : Utiliser la 2ème loi de Newton dans un référentiel terrestre galiléen. Projeter les forces sur l'axe du mouvement.
Détermination de la période : Identifier $T_0$ graphiquement (distance entre deux sommets consécutifs).
Conditions initiales : Utiliser $x(0)$ et $v(0)$ pour trouver $X_m$ et $\varphi$ .

Exemples corrigés

Exemple : Ressort $k=20 \, \text{N/m}$ , masse $m=0,2 \, \text{kg}$ . $T_0 = 2\pi\sqrt{0,2/20} = 2\pi\sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63 \, \text{s}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la conversion des unités (masse en kg, longueur en m).
Confondre la période propre $T_0$ avec la période des oscillations amorties (si frottements).
Utiliser la formule du pendule simple pour un ressort.

L'essentiel du cours

Pendule élastique (ressort-masse) : Système composé d'un ressort de raideur $k$ et d'un solide de masse $m$. L'équation différentielle est : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$. La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Pendule simple : Masse $m$ suspendue à un fil de longueur $l$. Pour des oscillations de faible amplitude ($\theta < 10^\circ$), l'équation est : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$. La période propre est $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Solution générale : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.

Méthodes à maîtriser

Établissement de l'équation différentielle : Utiliser la 2ème loi de Newton dans un référentiel terrestre galiléen. Projeter les forces sur l'axe du mouvement.
Détermination de la période : Identifier $T_0$ graphiquement (distance entre deux sommets consécutifs).
Conditions initiales : Utiliser $x(0)$ et $v(0)$ pour trouver $X_m$ et $\varphi$.

Exemples corrigés

Exemple : Ressort $k=20 , \text{N/m}$, masse $m=0,2 , \text{kg}$. $T_0 = 2\pi\sqrt{0,2/20} = 2\pi\sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63 , \text{s}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la conversion des unités (masse en kg, longueur en m).
Confondre la période propre $T_0$ avec la période des oscillations amorties (si frottements).
Utiliser la formule du pendule simple pour un ressort.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)

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Pour un pendule simple, si on double la longueur du fil, la période :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la masse influence la période d'un pendule simple ?

Non, d'après la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , la période ne dépend que de la longueur du fil $l$ et de l'intensité de la pesanteur $g$ . La masse $m$ n'apparaît pas dans l'expression.

💡 À retenir : La période d'un pendule simple est indépendante de la masse du solide.

Non, d'après la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, la période ne dépend que de la longueur du fil $l$ et de l'intensité de la pesanteur $g$. La masse $m$ n'apparaît pas dans l'expression.

💡 À retenir : La période d'un pendule simple est indépendante de la masse du solide.

Kifach n7seb l-k ila 3tani l-m o T0 f t-tmarin?

Nkhdo l-3ala9a $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Nrefo l-moraba3: $T_0^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$ .
Nkhrej $k$ : $k = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2}$ .

💡 À retenir : Toujours élever au carré pour isoler la constante de raideur.

Nkhdo l-3ala9a $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Nrefo l-moraba3: $T_0^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$.
Nkhrej $k$: $k = \frac{4\pi^2 m}{T_0^2}$.

💡 À retenir : Toujours élever au carré pour isoler la constante de raideur.

Pourquoi dit-on "faible amplitude" pour le pendule simple ?

Parce que l'équation différentielle $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0$ n'est linéaire que si $\sin(\theta) \approx \theta$ (en radians), ce qui n'est vrai que pour $\theta < 10^\circ$ .

💡 À retenir : L'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$ est nécessaire pour obtenir un mouvement sinusoïdal.

Parce que l'équation différentielle $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0$ n'est linéaire que si $\sin(\theta) \approx \theta$ (en radians), ce qui n'est vrai que pour $\theta < 10^\circ$.

💡 À retenir : L'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$ est nécessaire pour obtenir un mouvement sinusoïdal.

Chno hiya l-far9 bin l-mou3ada t-tafadouliya dial n-nawas l-marin o l-basit?

L-far9 f l-mou3amal: l-marin fiha $k/m$ (k/m) o l-basit fiha $g/l$ (g/l).

💡 À retenir : La structure est identique, mais les paramètres physiques diffèrent.

L-far9 f l-mou3amal: l-marin fiha $k/m$ (k/m) o l-basit fiha $g/l$ (g/l).

💡 À retenir : La structure est identique, mais les paramètres physiques diffèrent.

Le pendule élastique est-il toujours horizontal ?

Non, il peut être vertical. Dans ce cas, la position d'équilibre est décalée par le poids, mais l'équation différentielle reste la même en utilisant l'élongation par rapport à la nouvelle position d'équilibre.

💡 À retenir : Le poids ne modifie pas la période propre, seulement la position d'équilibre.

Kifach n3ref l-wos3 (amplitude) mn l-moun7ana?

L-wos3 houwa l-gima l-9ouswa (la valeur maximale) li kaywsel liha l-man7ana dial l-i3tila $x(t)$ aw z-zawiya $\theta(t)$ .

💡 À retenir : L'amplitude est la valeur absolue du maximum de la courbe.

L-wos3 houwa l-gima l-9ouswa (la valeur maximale) li kaywsel liha l-man7ana dial l-i3tila $x(t)$ aw z-zawiya $\theta(t)$.

💡 À retenir : L'amplitude est la valeur absolue du maximum de la courbe.

La période dépend-elle de l'amplitude ?

Pour le pendule élastique, non. Pour le pendule simple, c'est vrai uniquement si l'amplitude est faible (isochronisme des petites oscillations).

💡 À retenir : L'isochronisme est une propriété fondamentale des oscillateurs harmoniques.

Quelle est l'unité de la raideur k ?

La raideur $k$ s'exprime en Newton par mètre (N/m).

💡 À retenir : $F = k \cdot x \implies k = F/x \implies N/m$ .

La raideur $k$ s'exprime en Newton par mètre (N/m).

💡 À retenir : $F = k \cdot x \implies k = F/x \implies N/m$.

Est-ce que la période change si on change de planète ?

Oui, car $g$ (l'intensité de la pesanteur) change. Pour le pendule simple, $T_0$ varie avec $g$ . Pour le pendule élastique, $T_0$ ne dépend pas de $g$ .

💡 À retenir : Le pendule simple est sensible à la gravité, pas le pendule élastique.

Oui, car $g$ (l'intensité de la pesanteur) change. Pour le pendule simple, $T_0$ varie avec $g$. Pour le pendule élastique, $T_0$ ne dépend pas de $g$.

💡 À retenir : Le pendule simple est sensible à la gravité, pas le pendule élastique.

Comment déterminer la phase à l'origine varphi ?

En utilisant les conditions initiales à $t=0$ : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \omega_0 \sin(\varphi)$ .

💡 À retenir : La phase dépend de la position et de la vitesse au départ.

En utilisant les conditions initiales à $t=0$ : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \omega_0 \sin(\varphi)$.

💡 À retenir : La phase dépend de la position et de la vitesse au départ.

Est-ce que la vitesse est nulle aux extrêmes ?

Oui, aux points d'élongation maximale ( $x = X_m$ ou $x = -X_m$ ), le mouvement change de sens, donc la vitesse est nulle.

💡 À retenir : Aux extrêmes, l'énergie cinétique est nulle.

Oui, aux points d'élongation maximale ($x = X_m$ ou $x = -X_m$), le mouvement change de sens, donc la vitesse est nulle.

💡 À retenir : Aux extrêmes, l'énergie cinétique est nulle.

Est-ce que l'accélération est nulle au passage par la position d'équilibre ?

Oui, car à l'équilibre $x=0$ , donc l'accélération $\ddot{x} = -\frac{k}{m}x = 0$ .

💡 À retenir : À l'équilibre, la force de rappel est nulle.

Oui, car à l'équilibre $x=0$, donc l'accélération $\ddot{x} = -\frac{k}{m}x = 0$.

💡 À retenir : À l'équilibre, la force de rappel est nulle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un ressort de raideur $k = 25 \, \text{N/m}$ et d'un solide de masse $m = 100 \, \text{g}$ . On écarte le solide de $4 \, \text{cm}$ de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la période propre $T_0$ .
Déterminer l'équation horaire $x(t)$ .

Exercice 1

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un ressort de raideur $k = 25 , \text{N/m}$ et d'un solide de masse $m = 100 , \text{g}$. On écarte le solide de $4 , \text{cm}$ de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Calculer la période propre $T_0$.
Déterminer l'équation horaire $x(t)$.

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