Physique · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA Meknès (agriculture)

Oscillations libres dans un circuit RLC série

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation différentielle : Pour un circuit RLC série, la tension $u_C$ vérifie : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$
Période propre : En l'absence de résistance ( $R=0$ ), le circuit oscille avec une période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Énergie : $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ . L'énergie totale $E_T = E_e + E_m$ diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions ( $u_L + u_R + u_C = 0$ ).
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ (distance entre deux maxima).
Calculer l'énergie totale à deux instants différents pour trouver l'énergie dissipée par effet Joule : $\Delta E = E_T(t_2) - E_T(t_1)$ .

Exemples corrigés

Calcul de L : Si $T_0 = 0,1$ ms et $C = 10$ µF, alors $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C} = \frac{(10^{-4})^2}{4\pi^2 \times 10^{-5}} \approx 2,5 \times 10^{-5}$ H.

Erreurs fréquentes

Confondre la période propre $T_0$ et la pseudo-période $T$ (elles sont proches mais $T > T_0$ ).
Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de la résistance totale $R_{tot} = R + r$ .

L'essentiel du cours

Équation différentielle : Pour un circuit RLC série, la tension $u_C$ vérifie : $$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0$$
Période propre : En l'absence de résistance ($R=0$), le circuit oscille avec une période $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
Énergie : $E_e = \frac{1}{2}Cu_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2}Li^2$. L'énergie totale $E_T = E_e + E_m$ diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions ($u_L + u_R + u_C = 0$).
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ (distance entre deux maxima).
Calculer l'énergie totale à deux instants différents pour trouver l'énergie dissipée par effet Joule : $\Delta E = E_T(t_2) - E_T(t_1)$.

Exemples corrigés

Calcul de L : Si $T_0 = 0,1$ ms et $C = 10$ µF, alors $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C} = \frac{(10^{-4})^2}{4\pi^2 \times 10^{-5}} \approx 2,5 \times 10^{-5}$ H.

Erreurs fréquentes

Confondre la période propre $T_0$ et la pseudo-période $T$ (elles sont proches mais $T > T_0$).
Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de la résistance totale $R_{tot} = R + r$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Oscillations libres dans un circuit RLC série

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Dans un circuit LC idéal, l'énergie totale :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la pseudo-période T est égale à T0 ?

En théorie, $T \approx T_0$ si l'amortissement est faible (R très petite). Mais mathématiquement, $T$ est toujours légèrement supérieure à $T_0$ .

💡 À retenir : Pour les calculs simples au bac, on considère souvent $T \approx T_0$ si R est négligeable.

En théorie, $T \approx T_0$ si l'amortissement est faible (R très petite). Mais mathématiquement, $T$ est toujours légèrement supérieure à $T_0$.

💡 À retenir : Pour les calculs simples au bac, on considère souvent $T \approx T_0$ si R est négligeable.

Qu'est-ce qu'un régime critique ?

C'est la limite entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est là où le condensateur revient à zéro le plus rapidement sans osciller.

💡 À retenir : Il est obtenu pour une valeur spécifique de R appelée résistance critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$ .

C'est la limite entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. C'est là où le condensateur revient à zéro le plus rapidement sans osciller.

💡 À retenir : Il est obtenu pour une valeur spécifique de R appelée résistance critique $R_c = 2\sqrt{L/C}$.

Comment calculer la valeur de l'inductance L ?

Utiliser la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Élever au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 LC$ .
Isoler L : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Attention aux unités (T en secondes, C en Farads, L en Henrys).

Utiliser la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
Élever au carré : $T_0^2 = 4\pi^2 LC$.
Isoler L : $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Attention aux unités (T en secondes, C en Farads, L en Henrys).

Wach l'energie magnétique katkon max f nafss lwa9t li katkon fiha l'energie électrique max ?

La, l'energie totale est constante (si R=0). Quand $E_e$ est max, $E_m$ est nulle, et inversement. C'est un transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine.

💡 À retenir : $E_T = E_e + E_m = \text{constante}$ .

La, l'energie totale est constante (si R=0). Quand $E_e$ est max, $E_m$ est nulle, et inversement. C'est un transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine.

💡 À retenir : $E_T = E_e + E_m = \text{constante}$.

Pourquoi la courbe uC(t) finit par s'annuler ?

Parce que la résistance du circuit dissipe l'énergie sous forme de chaleur. À la fin, il ne reste plus d'énergie dans le circuit pour maintenir les oscillations.

💡 À retenir : L'amortissement est la conséquence directe de la résistance.

Pourquoi dit-on "oscillations libres" ?

On dit "libres" parce qu'une fois le condensateur chargé, on laisse le circuit évoluer tout seul sans aucune intervention extérieure (pas de générateur).

💡 À retenir : Le système n'échange plus d'énergie avec l'extérieur après le déclenchement.

Kifach n7seb l'energie li tbeddat (dissipée) ?

7seb $E_T(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$ .
7seb $E_T(t_2)$ f wa9t akhor.
Diri $E_{dissipée} = |E_T(t_2) - E_T(t_1)|$ .

💡 À retenir : L'énergie dissipée est toujours positive.

7seb $E_T(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$.
7seb $E_T(t_2)$ f wa9t akhor.
Diri $E_{dissipée} = |E_T(t_2) - E_T(t_1)|$.

💡 À retenir : L'énergie dissipée est toujours positive.

Quelle est la relation entre i et uC ?

La relation est $i = \frac{dq}{dt}$ avec $q = C \cdot u_C$ , donc $i = C \frac{du_C}{dt}$ .

💡 À retenir : Si le courant entre dans l'armature positive, $i = C \frac{du_C}{dt}$ .

La relation est $i = \frac{dq}{dt}$ avec $q = C \cdot u_C$, donc $i = C \frac{du_C}{dt}$.

💡 À retenir : Si le courant entre dans l'armature positive, $i = C \frac{du_C}{dt}$.

Kifach n3ref wach nizam chibah dawri wla la dawri?

Chouf l'oscillogramme (l'man7ana).
Ila kan l'man7ana kaydir tawatourat (oscillations) li katna9s l'amplitude dyalhom, rah nizam chibah dawri.
Ila kan l'man7ana kaynzel l zero bla maydir tawatourat, rah nizam la dawri.

💡 À retenir : L'amortissement dépend de la valeur de R. Plus R est grande, plus on s'éloigne du régime pseudo-périodique.

Est-ce que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC ?

Non, l'énergie totale $E_T$ ne se conserve pas. Elle diminue au cours du temps car la résistance du circuit transforme une partie de l'énergie électrique en chaleur (effet Joule).

💡 À retenir : $E_T$ est constante uniquement si $R=0$ (circuit LC idéal).

Non, l'énergie totale $E_T$ ne se conserve pas. Elle diminue au cours du temps car la résistance du circuit transforme une partie de l'énergie électrique en chaleur (effet Joule).

💡 À retenir : $E_T$ est constante uniquement si $R=0$ (circuit LC idéal).

Wach T0 katbdel ila bdelna R ?

La, $T_0$ (dour lkhas) kat3temd ghi 3la L o C. $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

💡 À retenir : La résistance R influence l'amortissement et la pseudo-période T, mais pas la période propre $T_0$ .

La, $T_0$ (dour lkhas) kat3temd ghi 3la L o C. $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

💡 À retenir : La résistance R influence l'amortissement et la pseudo-période T, mais pas la période propre $T_0$.

Comment établir l'équation différentielle ?

Appliquer la loi d'additivité des tensions : $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Remplacer $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ , $u_R = Ri$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$ .
Dériver $i$ par rapport au temps pour obtenir $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$ .
Regrouper les termes pour obtenir la forme standard.

💡 À retenir : Toujours vérifier le signe des tensions selon le sens du courant choisi.

Appliquer la loi d'additivité des tensions : $u_L + u_R + u_C = 0$.
Remplacer $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$, $u_R = Ri$ et $i = C \frac{du_C}{dt}$.
Dériver $i$ par rapport au temps pour obtenir $\frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$.
Regrouper les termes pour obtenir la forme standard.

💡 À retenir : Toujours vérifier le signe des tensions selon le sens du courant choisi.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ , une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R = 20 \Omega$ . Le condensateur est initialement chargé sous une tension $U_0 = 6 V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale du circuit à $t=0$ .

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$, une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance $R = 20 \Omega$. Le condensateur est initialement chargé sous une tension $U_0 = 6 V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale du circuit à $t=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On réalise un circuit RLC avec $L=0,5 H$ et $C=2 \mu F$ . On observe un régime pseudo-périodique avec une pseudo-période $T = 6,3 ms$ .

Comparer $T$ et $T_0$ .
Calculer l'énergie dissipée entre $t=0$ et $t=T$ . On donne $u_C(0) = 10 V$ et $u_C(T) = 8 V$ .

Exercice 2

On réalise un circuit RLC avec $L=0,5 H$ et $C=2 \mu F$. On observe un régime pseudo-périodique avec une pseudo-période $T = 6,3 ms$.

Comparer $T$ et $T_0$.
Calculer l'énergie dissipée entre $t=0$ et $t=T$. On donne $u_C(0) = 10 V$ et $u_C(T) = 8 V$.

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Exercice 3

Un circuit RLC série est soumis à un amortissement. La résistance totale est $R_{tot} = 50 \Omega$ . On donne $L = 0,2 H$ et $C = 50 \mu F$ .

Calculer la résistance critique $R_c$ .
Le régime est-il pseudo-périodique ou apériodique ? Justifier.

Exercice 3

Un circuit RLC série est soumis à un amortissement. La résistance totale est $R_{tot} = 50 \Omega$. On donne $L = 0,2 H$ et $C = 50 \mu F$.

Calculer la résistance critique $R_c$.
Le régime est-il pseudo-périodique ou apériodique ? Justifier.

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