Mathématiques · 1ère Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

عموميات حول الدوال العددية الرياضيات أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الإنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction numérique $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ un unique réel $f(x)$ .

Ensemble de définition $D_f$ : C'est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité :
- $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . La courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$ , on a $f(a) \leq f(b)$ .
- $f$ est décroissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$ , on a $f(a) \geq f(b)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , alors $D_f = \{x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0\}$ .
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ .
Étudier les variations : Calculer le taux de variation $T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$ . Si $T > 0$ alors $f$ est croissante, si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x + 2$ . Calculons le taux de variation : $T = \frac{(3a+2) - (3b+2)}{a-b} = \frac{3a-3b}{a-b} = \frac{3(a-b)}{a-b} = 3$ . Comme $3 > 0$ , $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de tester la parité.
Confondre l'image d'un nombre et l'antécédent.
Ne pas préciser l'intervalle lors de l'étude des variations.

L'essentiel du cours

Une fonction numérique $f$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ un unique réel $f(x)$.

Ensemble de définition $D_f$ : C'est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.
Parité :
- $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. La courbe est symétrique par rapport à l'origine $O$.
Variations :
- $f$ est croissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$, on a $f(a) \leq f(b)$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si pour tout $a, b \in I$ avec $a < b$, on a $f(a) \geq f(b)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Si $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, alors $D_f = {x \in \mathbb{R} / Q(x) \neq 0}$.
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$.
Étudier les variations : Calculer le taux de variation $T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$. Si $T > 0$ alors $f$ est croissante, si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x + 2$. Calculons le taux de variation : $T = \frac{(3a+2) - (3b+2)}{a-b} = \frac{3a-3b}{a-b} = \frac{3(a-b)}{a-b} = 3$. Comme $3 > 0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de tester la parité.
Confondre l'image d'un nombre et l'antécédent.
Ne pas préciser l'intervalle lors de l'étude des variations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 عموميات حول الدوال العددية الرياضيات أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الإنسانية

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L'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{x-1}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref Df dyal chi fonction fiha l'fraction ?

Chouf l' المقام (l'expression li l't7t).
7l l'équation li kat3tina المقام = 0.
$D_f$ hiya $\mathbb{R}$ na9s hadouk les nombres li l9iti.

💡 À retenir : L' المقام maykhsouch ykoun 0.

Chouf l' المقام (l'expression li l't7t).
7l l'équation li kat3tina المقام = 0.
$D_f$ hiya $\mathbb{R}$ na9s hadouk les nombres li l9iti.

💡 À retenir : L' المقام maykhsouch ykoun 0.

Chno hiya l'far9 bin la fonction paire o impaire ?

Paire : $f(-x) = f(x)$ , la courbe katban b7al ila mraiya f l'axe dyal $y$ .
Impaire : $f(-x) = -f(x)$ , la courbe katban mdwra 3la l'origine $O$ .

💡 À retenir : Paire = symétrie axe $y$ ; Impaire = symétrie point $O$ .

Paire : $f(-x) = f(x)$, la courbe katban b7al ila mraiya f l'axe dyal $y$.
Impaire : $f(-x) = -f(x)$, la courbe katban mdwra 3la l'origine $O$.

💡 À retenir : Paire = symétrie axe $y$ ; Impaire = symétrie point $O$.

Kifach n7seb taux de variation T ?

Khtari joj a3dad $a$ o $b$ mn l'intervalle.
7sbi $f(a) - f(b)$ .
9ssmi 3la $a - b$ .
Chouf wach l'résultat positif (croissante) aw négatif (décroissante).

💡 À retenir : $T = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ .

Khtari joj a3dad $a$ o $b$ mn l'intervalle.
7sbi $f(a) - f(b)$.
9ssmi 3la $a - b$.
Chouf wach l'résultat positif (croissante) aw négatif (décroissante).

💡 À retenir : $T = \frac{f(a)-f(b)}{a-b}$.

Est-ce que toutes les fonctions sont soit paires soit impaires ?

Non, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Non, la majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ n'est ni paire ni impaire.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une règle générale.

Comment savoir si un point appartient à la courbe ?

Pour savoir si $A(x_0, y_0)$ est sur la courbe de $f$ , il suffit de calculer $f(x_0)$ . Si le résultat est égal à $y_0$ , alors le point appartient à la courbe.

💡 À retenir : $A \in \mathcal{C}_f \iff f(x_0) = y_0$ .

Pour savoir si $A(x_0, y_0)$ est sur la courbe de $f$, il suffit de calculer $f(x_0)$. Si le résultat est égal à $y_0$, alors le point appartient à la courbe.

💡 À retenir : $A \in \mathcal{C}_f \iff f(x_0) = y_0$.

Qu'est-ce qu'une valeur maximale ?

C'est la plus grande valeur que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné. On dit que $M$ est le maximum si $f(x) \leq M$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Le maximum est une valeur de $y$ , pas de $x$ .

C'est la plus grande valeur que la fonction peut atteindre sur un intervalle donné. On dit que $M$ est le maximum si $f(x) \leq M$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Le maximum est une valeur de $y$, pas de $x$.

Peut-on avoir une fonction croissante sur tout son domaine ?

Oui, par exemple la fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

💡 À retenir : Une fonction peut être monotone (toujours croissante ou décroissante).

Oui, par exemple la fonction $f(x) = 2x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier.

💡 À retenir : Une fonction peut être monotone (toujours croissante ou décroissante).

Comment tracer une courbe à partir d'un tableau de variations ?

Place les points dont tu connais les coordonnées.
Respecte les flèches : monte si c'est croissant, descends si c'est décroissant.
Relie les points avec une courbe lisse.

💡 À retenir : Le tableau donne l'allure, pas la précision exacte.

Pourquoi on étudie la parité ?

Pour gagner du temps ! Si une fonction est paire ou impaire, il suffit d'étudier la moitié de son domaine, puis on déduit l'autre moitié par symétrie.

💡 À retenir : La parité simplifie le travail graphique.

Est-ce que f(x) = sqrt{x} est définie sur mathbb{R} ?

Non, la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. Donc $D_f = [0, +\infty[$ .

💡 À retenir : Ce qui est sous la racine doit être $\geq 0$ .

Non, la racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs ou nuls. Donc $D_f = [0, +\infty[$.

💡 À retenir : Ce qui est sous la racine doit être $\geq 0$.

Comment lire une image sur un graphique ?

Cherche le nombre $x$ sur l'axe horizontal.
Monte ou descends verticalement jusqu'à toucher la courbe.
Regarde la valeur correspondante sur l'axe vertical.

💡 À retenir : L'image est toujours sur l'axe des ordonnées.

Cherche le nombre $x$ sur l'axe horizontal.
Monte ou descends verticalement jusqu'à toucher la courbe.
Regarde la valeur correspondante sur l'axe vertical.

💡 À retenir : L'image est toujours sur l'axe des ordonnées.

Si f(a) = f(b) avec a neq b, est-ce que la fonction est constante ?

Non, cela veut juste dire que la fonction prend la même valeur en deux points différents. Elle peut monter et descendre entre ces deux points.

💡 À retenir : Une fonction constante a $f(a) = f(b)$ pour TOUS les $a, b$ .

Non, cela veut juste dire que la fonction prend la même valeur en deux points différents. Elle peut monter et descendre entre ces deux points.

💡 À retenir : Une fonction constante a $f(a) = f(b)$ pour TOUS les $a, b$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x - 3$.

Déterminer $D_f$.
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2$ .

Montrer que $f$ est paire.
Étudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2$.

Montrer que $f$ est paire.
Étudier les variations de $f$ sur $[0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2}{x}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Étudier les variations de $f$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{2}{x}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Étudier les variations de $f$ sur $]0, +\infty[$.

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