Mathématiques · 1ère Année Bac — Lettres & Sciences Humaines

الاشتقاق مادة الرياضيات أولى باك آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ . Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f'(a)$ , est la limite : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$
Équation de la tangente : L'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
Fonctions dérivées usuelles :
- Si $f(x) = k$ , alors $f'(x) = 0$ .
- Si $f(x) = ax + b$ , alors $f'(x) = a$ .
- Si $f(x) = x^n$ , alors $f'(x) = nx^{n-1}$ .
Opérations : $(u+v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le taux d'accroissement pour montrer la dérivabilité.
Déterminer l'équation de la tangente en un point donné.
Calculer la fonction dérivée d'une fonction polynôme.
Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Dérivée de $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ . $f'(x) = 3(2x) + 5 = 6x + 5$ .
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ au point $a=1$ . $f(1) = 1^2 = 1$ . $f'(x) = 2x$ , donc $f'(1) = 2(1) = 2$ . Équation : $y = 2(x - 1) + 1 \Rightarrow y = 2x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $f'(a)$ (un nombre) et $f'(x)$ (une fonction).
Oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur (pour les fonctions composées, attention au niveau 1ère Bac).
Se tromper dans le signe lors du calcul de la dérivée d'une somme.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite : $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
Équation de la tangente : L'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
Fonctions dérivées usuelles :
- Si $f(x) = k$, alors $f'(x) = 0$.
- Si $f(x) = ax + b$, alors $f'(x) = a$.
- Si $f(x) = x^n$, alors $f'(x) = nx^{n-1}$.
Opérations : $(u+v)' = u' + v'$ et $(ku)' = ku'$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le taux d'accroissement pour montrer la dérivabilité.
Déterminer l'équation de la tangente en un point donné.
Calculer la fonction dérivée d'une fonction polynôme.
Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations de $f$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Dérivée de $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$. $f'(x) = 3(2x) + 5 = 6x + 5$.
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ au point $a=1$. $f(1) = 1^2 = 1$. $f'(x) = 2x$, donc $f'(1) = 2(1) = 2$. Équation : $y = 2(x - 1) + 1 \Rightarrow y = 2x - 1$.

Erreurs fréquentes

Confondre $f'(a)$ (un nombre) et $f'(x)$ (une fonction).
Oublier de multiplier par la dérivée de l'intérieur (pour les fonctions composées, attention au niveau 1ère Bac).
Se tromper dans le signe lors du calcul de la dérivée d'une somme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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La dérivée de $f(x) = 5x$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le nombre dérivé et la fonction dérivée ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est un résultat numérique fixe qui représente la pente de la tangente en un point précis $a$ .
La fonction dérivée $f'(x)$ est une nouvelle fonction qui, pour chaque $x$ , donne la valeur de la pente en ce point.

💡 À retenir : $f'(a)$ est une valeur constante, $f'(x)$ est une expression algébrique.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est un résultat numérique fixe qui représente la pente de la tangente en un point précis $a$.
La fonction dérivée $f'(x)$ est une nouvelle fonction qui, pour chaque $x$, donne la valeur de la pente en ce point.

💡 À retenir : $f'(a)$ est une valeur constante, $f'(x)$ est une expression algébrique.

Kifach n7seb lmo3adala dyal lmamass?

Calcule l'image du point $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

💡 À retenir : Il faut toujours ces trois éléments : $a$ , $f(a)$ et $f'(a)$ .

Calcule l'image du point $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

💡 À retenir : Il faut toujours ces trois éléments : $a$, $f(a)$ et $f'(a)$.

Est-ce que toute fonction est dérivable sur son domaine de définition ?

Non. Une fonction n'est pas dérivable là où la courbe présente un "angle" (point anguleux) ou une rupture.

💡 À retenir : La dérivabilité nécessite une courbe "lisse" et continue.

Chno hiya l3ala9a bin l'ichtiqa9 w rataba dyal ddaala?

Si $f'(x) > 0$ , alors la fonction est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ , alors la fonction est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Si $f'(x) > 0$, alors la fonction est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$, alors la fonction est strictement décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Comment dériver une fonction polynôme comme f(x) = 4x^3 - 2x + 7 ?

Dérive chaque terme séparément.
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ .
$f'(x) = 4(3x^2) - 2(1) + 0 = 12x^2 - 2$ .

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours zéro.

Dérive chaque terme séparément.
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.
$f'(x) = 4(3x^2) - 2(1) + 0 = 12x^2 - 2$.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours zéro.

Kifach n3ref wach ddaala 9abila l'ichtiqa9 f no9ta a ?

Il faut calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ . Si tu trouves un nombre réel, alors elle est dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est infinie, la fonction n'est pas dérivable.

Il faut calculer la limite du taux d'accroissement $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$. Si tu trouves un nombre réel, alors elle est dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est infinie, la fonction n'est pas dérivable.

Pourquoi on étudie le signe de la dérivée ?

Pour savoir si la courbe monte ou descend. C'est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ indique souvent un sommet ou un creux (extremum).

Pour savoir si la courbe monte ou descend. C'est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ indique souvent un sommet ou un creux (extremum).

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, absolument. $(f + g)' = f' + g'$ .

💡 À retenir : On dérive chaque morceau indépendamment.

Oui, absolument. $(f + g)' = f' + g'$.

💡 À retenir : On dérive chaque morceau indépendamment.

Si f'(a) = 0, que signifie cela graphiquement ?

Cela signifie que la tangente au point $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : C'est souvent le signe d'un maximum ou d'un minimum local.

Cela signifie que la tangente au point $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : C'est souvent le signe d'un maximum ou d'un minimum local.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la dérivée ?

Non, à l'examen national, tu dois montrer les étapes de calcul algébrique.

💡 À retenir : La méthode de calcul est notée, pas seulement le résultat.

Comment dériver f(x) = -5x^2 ?

Garde le coefficient $-5$ .
Dérive $x^2$ qui donne $2x$ .
Multiplie : $-5 \times 2x = -10x$ .

💡 À retenir : Ne touche pas aux coefficients multiplicateurs.

Garde le coefficient $-5$.
Dérive $x^2$ qui donne $2x$.
Multiplie : $-5 \times 2x = -10x$.

💡 À retenir : Ne touche pas aux coefficients multiplicateurs.

Est-ce que la dérivée d'une fonction croissante est toujours positive ?

Oui, sur un intervalle où elle est dérivable, si $f$ est croissante, alors $f'(x) \geq 0$ .

💡 À retenir : La croissance est liée au signe positif de la dérivée.

Oui, sur un intervalle où elle est dérivable, si $f$ est croissante, alors $f'(x) \geq 0$.

💡 À retenir : La croissance est liée au signe positif de la dérivée.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a=2$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$ .

Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$.

Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$ .

Calculer $f'(x)$ .
Trouver les points où la tangente est horizontale.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x$.

Calculer $f'(x)$.
Trouver les points où la tangente est horizontale.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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