Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

الحساب العددي أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الانسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. La divisibilité dans $\mathbb{Z}$ On dit qu'un entier $a$ divise un entier $b$ (noté $a | b$ ) s'il existe un entier $k$ tel que : $b = a \times k$ Dans ce cas, $a$ est un diviseur de $b$ et $b$ est un multiple de $a$ .

2. Les nombres premiers Un nombre entier naturel est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Exemples : $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ (Note : $1$ n'est pas un nombre premier).

3. Décomposition en facteurs premiers Tout nombre entier supérieur à $1$ peut s'écrire de manière unique comme un produit de puissances de nombres premiers. Exemple : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

4. PGCD et PPCM

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : C'est le plus grand entier qui divise simultanément deux nombres $a$ et $b$ .
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : C'est le plus petit entier positif qui est multiple à la fois de $a$ et $b$ .
Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur $PGCD(a, b) = 1$ .

Méthodes à maîtriser

Pour vérifier si un nombre est premier : Tester la divisibilité par les nombres premiers successifs ( $2, 3, 5, 7 \dots$ ) jusqu'à ce que le quotient soit inférieur au diviseur testé.
Pour trouver le PGCD : Utiliser la décomposition en facteurs premiers. On prend les facteurs communs avec le plus petit exposant.
Pour trouver le PPCM : Utiliser la décomposition en facteurs premiers. On prend tous les facteurs (communs ou non) avec le plus grand exposant.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver le PGCD et le PPCM de $24$ et $36$ .

Décomposition : $24 = 2^3 \times 3$ $36 = 2^2 \times 3^2$
$PGCD(24, 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$ .
$PPCM(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$ .

Exemple 2 : Montrer que $15$ et $8$ sont premiers entre eux.

Décomposition de $15 = 3 \times 5$ .
Décomposition de $8 = 2^3$ .
Il n'y a aucun facteur premier commun, donc $PGCD(15, 8) = 1$ . Ils sont premiers entre eux.

Erreurs fréquentes

Confondre le PGCD (on cherche le plus grand diviseur) et le PPCM (on cherche le plus petit multiple).
Oublier que $1$ n'est pas un nombre premier.
Dans le PGCD, prendre les plus grands exposants au lieu des plus petits.

L'essentiel du cours

1. La divisibilité dans $\mathbb{Z}$ On dit qu'un entier $a$ divise un entier $b$ (noté $a | b$) s'il existe un entier $k$ tel que : $$b = a \times k$$ Dans ce cas, $a$ est un diviseur de $b$ et $b$ est un multiple de $a$.

4. PGCD et PPCM

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : C'est le plus grand entier qui divise simultanément deux nombres $a$ et $b$.
PPCM (Plus Petit Commun Multiple) : C'est le plus petit entier positif qui est multiple à la fois de $a$ et $b$.
Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur $PGCD(a, b) = 1$.

Méthodes à maîtriser

Pour vérifier si un nombre est premier : Tester la divisibilité par les nombres premiers successifs ($2, 3, 5, 7 \dots$) jusqu'à ce que le quotient soit inférieur au diviseur testé.
Pour trouver le PGCD : Utiliser la décomposition en facteurs premiers. On prend les facteurs communs avec le plus petit exposant.
Pour trouver le PPCM : Utiliser la décomposition en facteurs premiers. On prend tous les facteurs (communs ou non) avec le plus grand exposant.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver le PGCD et le PPCM de $24$ et $36$.

Décomposition : $24 = 2^3 \times 3$ $36 = 2^2 \times 3^2$
$PGCD(24, 36) = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
$PPCM(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

Exemple 2 : Montrer que $15$ et $8$ sont premiers entre eux.

Décomposition de $15 = 3 \times 5$.
Décomposition de $8 = 2^3$.
Il n'y a aucun facteur premier commun, donc $PGCD(15, 8) = 1$. Ils sont premiers entre eux.

Erreurs fréquentes

Confondre le PGCD (on cherche le plus grand diviseur) et le PPCM (on cherche le plus petit multiple).
Oublier que $1$ n'est pas un nombre premier.
Dans le PGCD, prendre les plus grands exposants au lieu des plus petits.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الحساب العددي أولى باكالوريا شعبة اللغة العربية والآداب والعلوم الانسانية

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Quel est le PGCD de 10 et 15 ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'qisma l'mou3amama?

La divisibilité signifie qu'un nombre $a$ peut diviser un nombre $b$ sans laisser de reste. Mathématiquement, on écrit $a | b$ s'il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$ .

💡 À retenir : Si le reste de la division est $0$ , alors il y a divisibilité.

La divisibilité signifie qu'un nombre $a$ peut diviser un nombre $b$ sans laisser de reste. Mathématiquement, on écrit $a | b$ s'il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$.

💡 À retenir : Si le reste de la division est $0$, alors il y a divisibilité.

Kifach n3ref 3adad wach awali?

Pour savoir si un nombre est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers successifs ( $2, 3, 5, 7, 11 \dots$ ). Si aucune division ne donne un résultat entier jusqu'à ce que le quotient soit plus petit que le diviseur, alors le nombre est premier.

💡 À retenir : Un nombre premier n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Pour savoir si un nombre est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers successifs ($2, 3, 5, 7, 11 \dots$). Si aucune division ne donne un résultat entier jusqu'à ce que le quotient soit plus petit que le diviseur, alors le nombre est premier.

💡 À retenir : Un nombre premier n'a que deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Chno l'farq bin PGCD o PPCM?

Le PGCD est le plus grand nombre qui peut diviser deux nombres en même temps (il est plus petit ou égal aux nombres).
Le PPCM est le plus petit nombre qui est dans la table de multiplication des deux nombres (il est plus grand ou égal aux nombres).

💡 À retenir : PGCD $\rightarrow$ Diviseurs / PPCM $\rightarrow$ Multiples.

Le PGCD est le plus grand nombre qui peut diviser deux nombres en même temps (il est plus petit ou égal aux nombres).
Le PPCM est le plus petit nombre qui est dans la table de multiplication des deux nombres (il est plus grand ou égal aux nombres).

💡 À retenir : PGCD $\rightarrow$ Diviseurs / PPCM $\rightarrow$ Multiples.

Est-ce que 1 est un nombre premier ?

Non, $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur ( $1$ lui-même), alors qu'un nombre premier doit en avoir exactement deux.

💡 À retenir : Les nombres premiers commencent à partir de $2$ .

Non, $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur ($1$ lui-même), alors qu'un nombre premier doit en avoir exactement deux.

💡 À retenir : Les nombres premiers commencent à partir de $2$.

Comment décomposer 120 en facteurs premiers ?

$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$ Résultat : $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ .

💡 À retenir : On divise toujours par le plus petit nombre premier possible à chaque étape.

$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$ Résultat : $120 = 2^3 \times 3 \times 5$.

💡 À retenir : On divise toujours par le plus petit nombre premier possible à chaque étape.

Que signifie "deux nombres sont premiers entre eux" ?

Cela signifie que leur seul diviseur commun est $1$ . Leur $PGCD$ est égal à $1$ .

💡 À retenir : $PGCD(a, b) = 1 \implies$ premiers entre eux.

Cela signifie que leur seul diviseur commun est $1$. Leur $PGCD$ est égal à $1$.

💡 À retenir : $PGCD(a, b) = 1 \implies$ premiers entre eux.

Comment trouver le PGCD avec la décomposition ?

Décompose les deux nombres en facteurs premiers.
Identifie les facteurs qui sont présents dans les deux décompositions.
Multiplie ces facteurs communs en prenant leur plus petit exposant.

💡 À retenir : PGCD = Facteurs communs avec petit exposant.

Comment trouver le PPCM avec la décomposition ?

Décompose les deux nombres en facteurs premiers.
Liste tous les facteurs qui apparaissent dans l'une ou l'autre décomposition.
Multiplie ces facteurs en prenant leur plus grand exposant.

💡 À retenir : PPCM = Tous les facteurs avec grand exposant.

Est-ce que 0 est divisible par 5 ?

Oui, car $0 = 5 \times 0$ . Le résultat est un entier ( $0$ ).

💡 À retenir : $0$ est un multiple de tous les entiers non nuls.

Oui, car $0 = 5 \times 0$. Le résultat est un entier ($0$).

💡 À retenir : $0$ est un multiple de tous les entiers non nuls.

Un nombre pair est-il toujours divisible par 2 ?

Oui, par définition, un nombre est pair s'il peut s'écrire sous la forme $2 \times k$ , où $k$ est un entier.

💡 À retenir : Nombre pair $\iff$ divisible par $2$ .

Oui, par définition, un nombre est pair s'il peut s'écrire sous la forme $2 \times k$, où $k$ est un entier.

💡 À retenir : Nombre pair $\iff$ divisible par $2$.

Si a divise b et b divise c, est-ce que a divise c ?

Oui. Si $b = a \times k$ et $c = b \times k'$ , alors $c = (a \times k) \times k' = a \times (k \times k')$ .

💡 À retenir : La divisibilité est transitive.

Oui. Si $b = a \times k$ et $c = b \times k'$, alors $c = (a \times k) \times k' = a \times (k \times k')$.

💡 À retenir : La divisibilité est transitive.

Comment vérifier rapidement si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous les chiffres du nombre. Si la somme est dans la table de $3$ , alors le nombre est divisible par $3$ . Exemple : $123 \rightarrow 1+2+3 = 6$ . $6$ est divisible par $3$ , donc $123$ l'est aussi.

💡 À retenir : Astuce de la somme des chiffres.

On additionne tous les chiffres du nombre. Si la somme est dans la table de $3$, alors le nombre est divisible par $3$. Exemple : $123 \rightarrow 1+2+3 = 6$. $6$ est divisible par $3$, donc $123$ l'est aussi.