Mathématiques · 1ère Année Bac — Langue arabe

التعداد مادة الرياضيات أولى باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de réalisations possibles d'une expérience.

La Factorielle : Pour un entier $n \geq 0$ , on note $n!$ le produit de tous les entiers de 1 à $n$ . $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ Note : Par convention, $0! = 1$ .
La Permutation : C'est l'ordre de tous les éléments d'un ensemble de $n$ éléments. $P_n = n!$
L'Arrangement : C'est le choix de $p$ éléments parmi $n$ où l'ordre compte. $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$
La Combinaison : C'est le choix de $p$ éléments parmi $n$ où l'ordre ne compte pas. $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, suivez ces étapes :

L'ordre est-il important ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Utilise-t-on tous les éléments ?
- Si OUI et l'ordre compte $\rightarrow$ Permutation.
- Si NON et l'ordre compte $\rightarrow$ Arrangement.
Y a-t-il répétition ? (Dans le programme de 1ère Bac Lettres, on se concentre généralement sur le "sans répétition").

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres $\{A, B, C, D\}$ sans répétition ? Solution :

On choisit 3 lettres parmi 4.
L'ordre des lettres change le mot (ex: ABC $\neq$ CBA), donc l'ordre compte.
C'est un arrangement : $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24$ .

Exemple 2 : Un professeur veut choisir 2 élèves dans une classe de 10 pour représenter l'école. Combien de groupes peut-il former ? Solution :

On choisit 2 élèves parmi 10.
L'ordre ne compte pas (choisir Ali puis Sara est identique à choisir Sara puis Ali).
C'est une combinaison : $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Ne pas se demander si l'ordre compte est l'erreur la plus courante.
Erreur de calcul de factorielle : Oublier que $0! = 1$ ou se tromper dans la multiplication.
Utiliser la permutation au lieu de l'arrangement quand on ne prend qu'une partie des éléments.

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de réalisations possibles d'une expérience.

La Factorielle : Pour un entier $n \geq 0$, on note $n!$ le produit de tous les entiers de 1 à $n$. $$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$$ Note : Par convention, $0! = 1$.
La Permutation : C'est l'ordre de tous les éléments d'un ensemble de $n$ éléments. $$P_n = n!$$
L'Arrangement : C'est le choix de $p$ éléments parmi $n$ où l'ordre compte. $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$
La Combinaison : C'est le choix de $p$ éléments parmi $n$ où l'ordre ne compte pas. $$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, suivez ces étapes :

L'ordre est-il important ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison.
Utilise-t-on tous les éléments ?
- Si OUI et l'ordre compte $\rightarrow$ Permutation.
- Si NON et l'ordre compte $\rightarrow$ Arrangement.
Y a-t-il répétition ? (Dans le programme de 1ère Bac Lettres, on se concentre généralement sur le "sans répétition").

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres ${A, B, C, D}$ sans répétition ? Solution :

On choisit 3 lettres parmi 4.
L'ordre des lettres change le mot (ex: ABC $\neq$ CBA), donc l'ordre compte.
C'est un arrangement : $A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{24}{1} = 24$.

Exemple 2 : Un professeur veut choisir 2 élèves dans une classe de 10 pour représenter l'école. Combien de groupes peut-il former ? Solution :

On choisit 2 élèves parmi 10.
L'ordre ne compte pas (choisir Ali puis Sara est identique à choisir Sara puis Ali).
C'est une combinaison : $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Ne pas se demander si l'ordre compte est l'erreur la plus courante.
Erreur de calcul de factorielle : Oublier que $0! = 1$ ou se tromper dans la multiplication.
Utiliser la permutation au lieu de l'arrangement quand on ne prend qu'une partie des éléments.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quelle est la valeur de $3!$ ?

❓ Questions fréquentes

Peut-on avoir Cn^p si p n ?

Non, c'est impossible. On ne peut pas choisir 10 personnes dans un groupe qui n'en contient que 5. Dans ce cas, le résultat est 0.

💡 À retenir : On doit toujours avoir $p \leq n$ .

Non, c'est impossible. On ne peut pas choisir 10 personnes dans un groupe qui n'en contient que 5. Dans ce cas, le résultat est 0.

💡 À retenir : On doit toujours avoir $p \leq n$.

C'est quoi le principe du dénombrement ?

C'est une technique mathématique qui permet de compter le nombre de possibilités ou d'éléments dans un ensemble sans avoir à les énumérer un par un.

💡 À retenir : On cherche "combien il y a de façons" de faire quelque chose.

Chno hiya factorielle ?

La factorielle d'un nombre $n$ (notée $n!$ ) est le produit de tous les nombres entiers positifs de 1 jusqu'à $n$ . Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

💡 À retenir : $n!$ est l'outil de base pour toutes les formules de dénombrement.

La factorielle d'un nombre $n$ (notée $n!$) est le produit de tous les nombres entiers positifs de 1 jusqu'à $n$. Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

💡 À retenir : $n!$ est l'outil de base pour toutes les formules de dénombrement.

Kifach n3ref wach nkhdem b An^p awla Cn^p ?

Il faut se poser la question : "Est-ce que l'ordre est important ?"

Si l'ordre change le résultat (ex: un code, un podium, un numéro de téléphone) $\rightarrow$ utilise $A_n^p$ .
Si l'ordre ne change rien (ex: un groupe d'amis, un tirage de cartes, un échantillon) $\rightarrow$ utilise $C_n^p$ .

💡 À retenir : Ordre = Arrangement | Pas d'ordre = Combinaison.

Il faut se poser la question : "Est-ce que l'ordre est important ?"

Si l'ordre change le résultat (ex: un code, un podium, un numéro de téléphone) $\rightarrow$ utilise $A_n^p$.
Si l'ordre ne change rien (ex: un groupe d'amis, un tirage de cartes, un échantillon) $\rightarrow$ utilise $C_n^p$.

💡 À retenir : Ordre = Arrangement | Pas d'ordre = Combinaison.

Comment calculer 5! rapidement ?

On multiplie les nombres en descendant : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ . $5 \times 4 = 20$ $20 \times 3 = 60$ $60 \times 2 = 120$ $120 \times 1 = 120$ .

💡 À retenir : $5! = 120$ .

On multiplie les nombres en descendant : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$. $5 \times 4 = 20$ $20 \times 3 = 60$ $60 \times 2 = 120$ $120 \times 1 = 120$.

💡 À retenir : $5! = 120$.

Quelle est la différence entre une permutation et un arrangement ?

La permutation est un cas particulier de l'arrangement où l'on utilise tous les éléments disponibles ( $p = n$ ).

Arrangement : on choisit une partie des éléments ( $p < n$ ).
Permutation : on range tous les éléments ( $p = n$ ).

💡 À retenir : $A_n^n = n!$ .

La permutation est un cas particulier de l'arrangement où l'on utilise tous les éléments disponibles ($p = n$).

Arrangement : on choisit une partie des éléments ($p < n$).
Permutation : on range tous les éléments ($p = n$).

💡 À retenir : $A_n^n = n!$.

Chno l'farq bin permutation w arrangement ?

F l'arrangement, kankhytar ghir chi 3adad dial l'a3dad (par exemple 2 men 5). F l'permutation, khassna nakhdou ga3 l'a3dad li 3ndna (ga3 5).

💡 À retenir : Permutation = Arrangement de tous les éléments.

Est-ce que l'ordre compte dans une combinaison ?

Non, dans une combinaison, l'ordre n'a aucune importance. Le groupe $\{A, B\}$ est considéré comme le même que le groupe $\{B, A\}$ .

💡 À retenir : Combinaison = Groupe sans ordre.

Non, dans une combinaison, l'ordre n'a aucune importance. Le groupe ${A, B}$ est considéré comme le même que le groupe ${B, A}$.

💡 À retenir : Combinaison = Groupe sans ordre.

Comment calculer C5^2 ?

On utilise la formule : $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!}$ . On simplifie : $\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$ .

💡 À retenir : Toujours simplifier les factorielles pour faciliter le calcul.

On utilise la formule : $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \times 3!}$. On simplifie : $\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

💡 À retenir : Toujours simplifier les factorielles pour faciliter le calcul.

Kifach n7seb A{10}^3 ?

On applique la formule de l'arrangement : $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

💡 À retenir : $A_n^p$ revient à multiplier $p$ nombres en partant de $n$ vers le bas.

On applique la formule de l'arrangement : $A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.

💡 À retenir : $A_n^p$ revient à multiplier $p$ nombres en partant de $n$ vers le bas.

Pourquoi 0! = 1 ?

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules de dénombrement (comme $A_n^n$ ou $C_n^p$ ) restent cohérentes et fonctionnent correctement dans tous les calculs.

💡 À retenir : Retiens simplement que $0! = 1$ pour tes examens.

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules de dénombrement (comme $A_n^n$ ou $C_n^p$) restent cohérentes et fonctionnent correctement dans tous les calculs.

💡 À retenir : Retiens simplement que $0! = 1$ pour tes examens.

Comment dénombrer les mots de 3 lettres différents avec {A, B, C, D, E} ?

On choisit 3 lettres parmi 5.
L'ordre des lettres compte pour former un mot.
C'est un arrangement : $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

💡 À retenir : Un "mot" implique presque toujours que l'ordre compte.

On choisit 3 lettres parmi 5.
L'ordre des lettres compte pour former un mot.
C'est un arrangement : $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

💡 À retenir : Un "mot" implique presque toujours que l'ordre compte.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Combien de façons différentes peut-on disposer 5 élèves sur un banc de 5 places ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un club de sport compte 8 membres. On souhaite former un comité composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier. Chaque membre ne peut occuper qu'un seul poste. Combien de comités différents peut-on former ?

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Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : On considère l'ensemble $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Combien de sous-ensembles de 3 éléments peut-on former ?
Combien de nombres de 3 chiffres différents peut-on former avec les éléments de $E$ ?

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : On considère l'ensemble $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

Combien de sous-ensembles de 3 éléments peut-on former ?
Combien de nombres de 3 chiffres différents peut-on former avec les éléments de $E$ ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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