Télécommunications · Écoles d'ingénieurs — INPT

Analyse et traitement des signaux déterministes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un signal déterministe est une fonction $x(t)$ dont la valeur est connue à tout instant $t$ .

Énergie et Puissance :
- Énergie : $E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt$ .
- Puissance moyenne : $P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt$ .
Transformée de Fourier (TF) : $X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$ .
Propriétés clés : Linéarité, Translation temporelle ( $x(t-t_0) \leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}$ ), Modulation ( $x(t)e^{j2\pi f_0t} \leftrightarrow X(f-f_0)$ ).

Méthodes à maîtriser

Calcul de la TF : Utiliser les intégrales classiques ou les propriétés de symétrie.
Analyse spectrale : Identifier la largeur de bande à -3dB.
Produit de convolution : Appliquer $(x*y)(t) = \int x(\tau)y(t-\tau)d\tau$ .

Exemples corrigés

Signal porte rectangulaire : $x(t) = A \cdot \Pi(t/T)$ . Sa TF est $X(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT)$ .
Signal sinusoïdal : $x(t) = \cos(2\pi f_0 t)$ a pour TF deux pics de Dirac : $\frac{1}{2}[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $2\pi$ dans l'exponentielle de la TF.
Confondre énergie (signal fini) et puissance (signal périodique).
Négliger les conditions de convergence de l'intégrale de Fourier.

L'essentiel du cours

Un signal déterministe est une fonction $x(t)$ dont la valeur est connue à tout instant $t$.

Énergie et Puissance :
- Énergie : $E_x = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt$.
- Puissance moyenne : $P_x = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt$.
Transformée de Fourier (TF) : $X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt$.
Propriétés clés : Linéarité, Translation temporelle ($x(t-t_0) \leftrightarrow X(f)e^{-j2\pi ft_0}$), Modulation ($x(t)e^{j2\pi f_0t} \leftrightarrow X(f-f_0)$).

Méthodes à maîtriser

Calcul de la TF : Utiliser les intégrales classiques ou les propriétés de symétrie.
Analyse spectrale : Identifier la largeur de bande à -3dB.
Produit de convolution : Appliquer $(x*y)(t) = \int x(\tau)y(t-\tau)d\tau$.

Exemples corrigés

Signal porte rectangulaire : $x(t) = A \cdot \Pi(t/T)$. Sa TF est $X(f) = A \cdot T \cdot \text{sinc}(fT)$.
Signal sinusoïdal : $x(t) = \cos(2\pi f_0 t)$ a pour TF deux pics de Dirac : $\frac{1}{2}[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)]$.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur $2\pi$ dans l'exponentielle de la TF.
Confondre énergie (signal fini) et puissance (signal périodique).
Négliger les conditions de convergence de l'intégrale de Fourier.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Analyse et traitement des signaux déterministes

1/4

Quelle est la transformée de Fourier d'une impulsion de Dirac $\delta(t)$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un signal à énergie finie et un signal à puissance finie ?

Un signal à énergie finie est un signal qui s'annule à l'infini (ex: impulsion). Son énergie est finie et sa puissance moyenne est nulle.
Un signal à puissance finie est un signal qui ne s'annule pas (ex: sinusoïde). Son énergie est infinie mais sa puissance moyenne est finie.

💡 À retenir : L'énergie est l'intégrale du carré du signal, la puissance est la moyenne temporelle de cette énergie.

Kifach n7seb la transformée de Fourier d'un signal li fih le décalage ?

Applique la propriété de translation temporelle : si $x(t) \leftrightarrow X(f)$ , alors $x(t-t_0) \leftrightarrow X(f) \cdot e^{-j2\pi ft_0}$ .
Calcule d'abord la TF du signal centré en 0.
Multiplie le résultat par la phase exponentielle correspondante au décalage $t_0$ .

💡 À retenir : Un retard dans le temps devient un déphasage linéaire dans le domaine fréquentiel.

Applique la propriété de translation temporelle : si $x(t) \leftrightarrow X(f)$, alors $x(t-t_0) \leftrightarrow X(f) \cdot e^{-j2\pi ft_0}$.
Calcule d'abord la TF du signal centré en 0.
Multiplie le résultat par la phase exponentielle correspondante au décalage $t_0$.

💡 À retenir : Un retard dans le temps devient un déphasage linéaire dans le domaine fréquentiel.

Est-ce que la transformée de Fourier inverse est toujours possible ?

Oui, pour tout signal appartenant à l'espace $L^1$ ou $L^2$ (signaux physiquement réalisables), la transformée inverse existe et est définie par $x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df$ .

💡 À retenir : La TF est une bijection dans les espaces de signaux usuels.

Chno hiya l'utilité dyal la densité spectrale de puissance (DSP) ?

La DSP permet de connaître comment la puissance d'un signal est répartie en fonction de la fréquence. C'est crucial pour dimensionner les filtres et éviter les interférences entre canaux.

💡 À retenir : La DSP est la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation (Théorème de Wiener-Khintchine).

Comment calculer la convolution de deux signaux rectangulaires ?

Utilise la méthode graphique : glisser un signal sur l'autre.
Ou utilise la propriété : $\text{TF}(x*y) = X(f) \cdot Y(f)$ , puis fais la TF inverse du produit.

💡 À retenir : La convolution de deux portes identiques donne un signal triangulaire.

Utilise la méthode graphique : glisser un signal sur l'autre.
Ou utilise la propriété : $\text{TF}(x*y) = X(f) \cdot Y(f)$, puis fais la TF inverse du produit.

💡 À retenir : La convolution de deux portes identiques donne un signal triangulaire.

Kifach n3ref wach signal pair wla impair ?

Calcule $x(-t)$ .
Si $x(-t) = x(t)$ , le signal est pair (symétrie par rapport à l'axe vertical).
Si $x(-t) = -x(t)$ , le signal est impair (symétrie par rapport à l'origine).

💡 À retenir : Un signal pair a une TF réelle, un signal impair a une TF imaginaire pure.

Calcule $x(-t)$.
Si $x(-t) = x(t)$, le signal est pair (symétrie par rapport à l'axe vertical).
Si $x(-t) = -x(t)$, le signal est impair (symétrie par rapport à l'origine).

💡 À retenir : Un signal pair a une TF réelle, un signal impair a une TF imaginaire pure.

La largeur de bande d'un signal, c'est quoi exactement ?

C'est l'intervalle de fréquences où se concentre l'essentiel de l'énergie du signal (souvent défini à -3dB ou 99% de l'énergie).

💡 À retenir : Plus le signal est bref dans le temps, plus sa bande passante est large.

Pourquoi on utilise souvent la fonction sinc dans les télécoms ?

Parce que la fonction porte rectangulaire (très utilisée pour modéliser les impulsions) a pour transformée de Fourier une fonction sinc.

💡 À retenir : La fonction $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ est fondamentale pour l'échantillonnage.

Parce que la fonction porte rectangulaire (très utilisée pour modéliser les impulsions) a pour transformée de Fourier une fonction sinc.

💡 À retenir : La fonction $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ est fondamentale pour l'échantillonnage.

Est-ce que le bruit blanc est un signal déterministe ?

Non, le bruit blanc est un processus aléatoire car on ne peut pas prédire sa valeur exacte à un instant futur.

💡 À retenir : Le chapitre "Analyse des signaux déterministes" ne traite que des signaux prévisibles.

Comment normaliser un signal ?

Divise le signal par sa valeur maximale ou par la racine carrée de son énergie totale pour que l'énergie normalisée soit égale à 1.

💡 À retenir : La normalisation facilite la comparaison entre différents types de signaux.

Chno hiya la relation bin la convolution f le temps et la multiplication f la fréquence ?

C'est la dualité de Fourier : le produit de convolution dans le domaine temporel correspond à une multiplication simple dans le domaine fréquentiel.

💡 À retenir : C'est la propriété la plus puissante pour simplifier le calcul des systèmes linéaires.

Est-ce que la TF d'un signal réel est toujours symétrique ?

Oui, le module de la TF d'un signal réel est toujours une fonction paire : $|X(f)| = |X(-f)|$ .

💡 À retenir : La partie négative du spectre est le miroir de la partie positive.

Oui, le module de la TF d'un signal réel est toujours une fonction paire : $|X(f)| = |X(-f)|$.

💡 À retenir : La partie négative du spectre est le miroir de la partie positive.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit un signal $x(t) = A \cdot \Pi(\frac{t}{T_0})$ . Calculer sa transformée de Fourier $X(f)$ et tracer son spectre en module.

Exercice 1

Soit un signal $x(t) = A \cdot \Pi(\frac{t}{T_0})$. Calculer sa transformée de Fourier $X(f)$ et tracer son spectre en module.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer le produit de convolution de deux signaux portes identiques $x(t) = \Pi(t/T)$ et $y(t) = \Pi(t/T)$ .

Exercice 2

Calculer le produit de convolution de deux signaux portes identiques $x(t) = \Pi(t/T)$ et $y(t) = \Pi(t/T)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un signal $x(t) = \cos(2\pi f_0 t)$ est multiplié par une porte $w(t) = \Pi(t/T)$ . Déterminer le spectre du signal résultant $s(t) = x(t) \cdot w(t)$ .

Exercice 3

Un signal $x(t) = \cos(2\pi f_0 t)$ est multiplié par une porte $w(t) = \Pi(t/T)$. Déterminer le spectre du signal résultant $s(t) = x(t) \cdot w(t)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Télécommunications pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Télécommunications

Introduction aux systèmes de télécommunications Processus aléatoires et bruit dans les systèmes de communication Modulation analogique (AM, FM, PM)Échantillonnage et quantification Modulations numériques en bande de base Modulations numériques sur porteuse (ASK, FSK, PSK, QAM)Théorie de l'information et codage de source Codage de canal et correction d'erreurs Propagation des ondes électromagnétiques et lignes de transmission Techniques d'accès multiple (FDMA, TDMA, CDMA, OFDMA)Architecture des réseaux mobiles (2G, 3G, 4G, 5G)Communications par satellites Communications optiques