Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences de Gestion Comptable

Primitives et calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Théorème : Si $f$ est continue sur $I$ , alors elle admet des primitives sur $I$ . Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + c$ ( $c \in \mathbb{R}$ ).
Intégrale : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ . On a : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int (af(x) + bg(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître une forme usuelle : Identifier si la fonction ressemble à $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ ou $u'/ \sqrt{u}$ .
Calcul d'intégrale : Trouver la primitive, puis remplacer par la borne supérieure moins la borne inférieure.
Intégration par parties : Utiliser la formule $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ .
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et $x=a, x=b$ est $\int_{a}^{b} |f(x)| dx$ u.a.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + c$ .
Calcul de $\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes dans le calcul de l'intégrale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^x$ est $e^x$ , pas $e^x$ dérivé).
Oublier l'unité d'aire (u.a) lors du calcul d'une surface.

L'essentiel du cours

Définition : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Théorème : Si $f$ est continue sur $I$, alors elle admet des primitives sur $I$. Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + c$ ($c \in \mathbb{R}$).
Intégrale : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$. On a : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int (af(x) + bg(x)) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître une forme usuelle : Identifier si la fonction ressemble à $u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$ ou $u'/ \sqrt{u}$.
Calcul d'intégrale : Trouver la primitive, puis remplacer par la borne supérieure moins la borne inférieure.
Intégration par parties : Utiliser la formule $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]a^b - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}f$, l'axe des abscisses et $x=a, x=b$ est $\int{a}^{b} |f(x)| dx$ u.a.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + c$.
Calcul de $\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes dans le calcul de l'intégrale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^x$ est $e^x$, pas $e^x$ dérivé).
Oublier l'unité d'aire (u.a) lors du calcul d'une surface.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Primitives et calcul intégral

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = 2x$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-jawb dyali s7i7 f l-primitive ?

C'est simple : prends ton résultat (la primitive que tu as trouvée) et dérive-le. Si tu retombes exactement sur la fonction de départ, alors ton calcul est juste.

💡 À retenir : La preuve est dans la dérivation.

Est-ce qu'il y a une seule primitive pour une fonction ?

Non, il y a une infinité de primitives. Si $F$ est une primitive, alors $F(x) + c$ (où $c$ est un nombre réel) est aussi une primitive.

💡 À retenir : Toutes les primitives diffèrent d'une constante.

Non, il y a une infinité de primitives. Si $F$ est une primitive, alors $F(x) + c$ (où $c$ est un nombre réel) est aussi une primitive.

💡 À retenir : Toutes les primitives diffèrent d'une constante.

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une primitive est une fonction $F$ dont la dérivée est égale à la fonction $f$ donnée. C'est l'opération inverse de la dérivation.

💡 À retenir : Si $F'(x) = f(x)$ , alors $F$ est une primitive de $f$ .

Une primitive est une fonction $F$ dont la dérivée est égale à la fonction $f$ donnée. C'est l'opération inverse de la dérivation.

💡 À retenir : Si $F'(x) = f(x)$, alors $F$ est une primitive de $f$.

Chno hiya l-farq bin l-primitive o l-intégral ?

La primitive est une fonction, alors que l'intégrale est un nombre (un résultat numérique) calculé sur un intervalle donné.

💡 À retenir : Primitive = Fonction ; Intégrale = Nombre.

Comment calculer l'intégrale d'une somme ?

Grâce à la linéarité, tu peux calculer l'intégrale de chaque terme séparément et les additionner.

💡 À retenir : $\int (f+g) = \int f + \int g$ .

Grâce à la linéarité, tu peux calculer l'intégrale de chaque terme séparément et les additionner.

💡 À retenir : $\int (f+g) = \int f + \int g$.

Kifach n7seb l-massa7a ila kan l-manhana taht l-mou7awir ?

Si la courbe est sous l'axe des abscisses, l'intégrale est négative. Pour avoir une aire (qui doit être positive), tu dois prendre la valeur absolue de l'intégrale.

💡 À retenir : Aire = $\int |f(x)| dx$ u.a.

Si la courbe est sous l'axe des abscisses, l'intégrale est négative. Pour avoir une aire (qui doit être positive), tu dois prendre la valeur absolue de l'intégrale.

💡 À retenir : Aire = $\int |f(x)| dx$ u.a.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ?

C'est une propriété qui permet de découper une intégrale en deux parties en utilisant un point intermédiaire $c$ entre $a$ et $b$ .

💡 À retenir : $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ .

C'est une propriété qui permet de découper une intégrale en deux parties en utilisant un point intermédiaire $c$ entre $a$ et $b$.

💡 À retenir : $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$.

Quand utiliser l'intégration par parties ?

On l'utilise quand la fonction est un produit de deux fonctions de natures différentes, comme $x e^x$ ou $x \ln(x)$ .

💡 À retenir : Choisis $u$ pour qu'elle devienne plus simple en dérivant.

On l'utilise quand la fonction est un produit de deux fonctions de natures différentes, comme $x e^x$ ou $x \ln(x)$.

💡 À retenir : Choisis $u$ pour qu'elle devienne plus simple en dérivant.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .

💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction.

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.

💡 À retenir : Le signe de l'intégrale dépend du signe de la fonction.

Comment choisir u et v' dans l'intégration par parties ?

Il faut choisir $u$ de sorte que $u'$ soit plus simple que $u$ . Par exemple, pour $x e^x$ , on pose $u=x$ (car $u'=1$ ) et $v'=e^x$ .

💡 À retenir : La règle "LIATE" (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle) aide à choisir $u$ .

Il faut choisir $u$ de sorte que $u'$ soit plus simple que $u$. Par exemple, pour $x e^x$, on pose $u=x$ (car $u'=1$) et $v'=e^x$.

💡 À retenir : La règle "LIATE" (Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Exponentielle) aide à choisir $u$.

Pourquoi on ajoute "+ c" à la fin ?

Parce que la dérivée d'une constante est zéro. Donc, $F(x) + 5$ et $F(x) + 10$ ont la même dérivée $f(x)$ . Le " $c$ " représente toutes ces constantes possibles.

💡 À retenir : $c$ est la constante d'intégration.

Parce que la dérivée d'une constante est zéro. Donc, $F(x) + 5$ et $F(x) + 10$ ont la même dérivée $f(x)$. Le "$c$" représente toutes ces constantes possibles.

💡 À retenir : $c$ est la constante d'intégration.

Est-ce que l'intégrale peut être égale à zéro ?

Oui, si la surface au-dessus de l'axe est égale à la surface en dessous, ou si les bornes sont identiques ( $a=b$ ).

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$ .

Oui, si la surface au-dessus de l'axe est égale à la surface en dessous, ou si les bornes sont identiques ($a=b$).

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la primitive de $f(x) = 4x^3 + 2x - 5$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Calculer la primitive de $f(x) = 4x^3 + 2x - 5$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer l'intégrale $I = \int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{1}{x}) dx$ .

Exercice 2

Calculer l'intégrale $I = \int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{1}{x}) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$ , l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = e^x$, l'axe des abscisses, et les droites $x=0$ et $x=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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