Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Appartenance et Inclusion : Soient $A$ et $B$ deux ensembles. $x \in A$ signifie que $x$ appartient à $A$. $A \subset B$ signifie que $\forall x, x \in A \implies x \in B$.
Opérations de base :
Intersection : $A \cap B = {x / x \in A \text{ et } x \in B}$.
Réunion : $A \cup B = {x / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
Complémentaire : $\complement_E A = {x \in E / x \notin A}$.
Différence : $A \setminus B = {x \in A / x \notin B}$.
Produit cartésien : $A \times B = {(x, y) / x \in A \text{ et } y \in B}$.
Méthodes à maîtriser
Démontrer l'égalité $A = B$ : Montrer que $A \subset B$ et $B \subset A$.
Démontrer l'inclusion $A \subset B$ : Prendre un élément $x \in A$ et montrer qu'il appartient à $B$.
Utiliser les diagrammes de Venn : Pour visualiser les opérations sur les ensembles.
Lois de Morgan : $\complement_E(A \cup B) = \complement_E A \cap \complement_E B$ et $\complement_E(A \cap B) = \complement_E A \cup \complement_E B$.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient $A = {1, 2}$ et $B = {2, 3}$. Alors $A \cup B = {1, 2, 3}$ et $A \cap B = {2}$.
Exemple 2 : Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Preuve : On montre la double inclusion. Si $x \in A \cap (B \cup C)$, alors $x \in A$ et ($x \in B$ ou $x \in C$). Donc ($x \in A$ et $x \in B$) ou ($x \in A$ et $x \in C$), soit $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Erreurs fréquentes
Confondre $\in$ (élément) et $\subset$ (ensemble).
Oublier que $\emptyset$ est une partie de tout ensemble $A$ ($\emptyset \subset A$).
Penser que $A \setminus B = B \setminus A$ (c'est faux en général).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Soit $A = {1, 2}$. Quel est l'ensemble des parties $\mathcal{P}(A)$ ?
❓ Questions fréquentes
C'est quoi la différence entre in et subset ?
Le symbole $\in$ s'utilise entre un élément et un ensemble (ex: $2 \in {1, 2, 3}$).
Le symbole $\subset$ s'utilise entre deux ensembles (ex: ${1, 2} \subset {1, 2, 3}$).
💡 À retenir : On ne dit jamais $2 \subset {1, 2, 3}$ car 2 n'est pas un ensemble.
Kifach n-biyen bli A=B f l-imti7an ?
Tu dois prouver deux choses : $A \subset B$ et $B \subset A$.
Pour $A \subset B$, prends un $x$ quelconque dans $A$ et montre par étapes logiques qu'il est dans $B$.
Fais la même chose pour $B \subset A$.
💡 À retenir : L'égalité est une double inclusion.
Chno hiya l-far9 bin l-ittihad (union) w l-ta9ato3 (intersection) ?
L'union ($A \cup B$) contient tous les éléments qui sont dans $A$ OU dans $B$ (on rassemble tout).
L'intersection ($A \cap B$) ne contient que les éléments qui sont dans $A$ ET dans $B$ en même temps (les points communs).
💡 À retenir : Union = "Ou", Intersection = "Et".
Est-ce que emptyset in A est toujours vrai ?
Non. $\emptyset \subset A$ est toujours vrai (l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble), mais $\emptyset \in A$ n'est vrai que si l'ensemble vide est lui-même un élément de $A$.
💡 À retenir : $\emptyset$ est un sous-ensemble, pas forcément un élément.
Comment calculer le produit cartésien A times B ?
Si $A$ a $n$ éléments et $B$ a $m$ éléments, $A \times B$ a $n \times m$ éléments.
Les éléments sont des couples $(a, b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$.
💡 À retenir : L'ordre compte, $(a, b) \neq (b, a)$ sauf si $a=b$.
Wach l-moukamila (complémentaire) kat-t3teb bnisba l-chi majmo3a kbira ?
Oui, le complémentaire n'a de sens que si on précise l'ensemble de référence $E$.
On note $\complement_E A$ l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
💡 À retenir : Sans l'ensemble $E$, le complémentaire est indéfini.
Peut-on avoir A cap B = emptyset ?
Oui, cela signifie que $A$ et $B$ sont des ensembles disjoints. Ils n'ont aucun élément en commun.
💡 À retenir : Disjoints = Intersection vide.
Est-ce que A setminus B = A cap complementE B ?
Oui, c'est une propriété fondamentale. Retirer les éléments de $B$ à $A$ revient à prendre les éléments de $A$ qui sont dans le complémentaire de $B$.
💡 À retenir : $A \setminus B = A \cap B^c$.
Comment montrer que x notin A cap B ?
Il faut utiliser la négation : $x \notin A \cap B$ équivaut à $x \notin A$ OU $x \notin B$.
C'est une application directe des lois de Morgan.
💡 À retenir : La négation d'un "et" est un "ou".
Est-ce que l'ordre des éléments dans un ensemble est important ?
Non, ${1, 2}$ est exactement la même chose que ${2, 1}$. Un ensemble est défini par ses éléments, pas par leur ordre.
💡 À retenir : L'ordre ne compte pas dans un ensemble.
Si A subset B, que vaut A cup B ?
Si $A$ est inclus dans $B$, alors tous les éléments de $A$ sont déjà dans $B$. Donc $A \cup B = B$.
💡 À retenir : Dans une union, le plus grand "avale" le plus petit.
Est-ce que A times B = B times A ?
En général non, sauf si $A=B$ ou si l'un des ensembles est vide. Les couples $(a, b)$ et $(b, a)$ sont différents.
💡 À retenir : Le produit cartésien n'est pas commutatif.
Appartenance et Inclusion : Soient A et B deux ensembles. x∈A signifie que x appartient à A. A⊂B signifie que ∀x,x∈A⟹x∈B.
Opérations de base :
Intersection : A∩B={x/x∈A et x∈B}.
Réunion : A∪B={x/x∈A ou x∈B}.
Complémentaire : ∁EA={x∈E/x∈/A}.
Différence : A∖B={x∈A/x∈/B}.
Produit cartésien : A×B={(x,y)/x∈A et y∈B}.
Méthodes à maîtriser
Démontrer l'égalité A=B : Montrer que A⊂B et B⊂A.
Démontrer l'inclusion A⊂B : Prendre un élément x∈A et montrer qu'il appartient à B.
Utiliser les diagrammes de Venn : Pour visualiser les opérations sur les ensembles.
Lois de Morgan : ∁E(A∪B)=∁EA∩∁EB et ∁E(A∩B)=∁EA∪∁EB.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient A={1,2} et B={2,3}. Alors A∪B={1,2,3} et A∩B={2}.
Exemple 2 : Montrer que A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
Preuve : On montre la double inclusion. Si x∈A∩(B∪C), alors x∈A et (x∈B ou x∈C). Donc (x∈A et x∈B) ou (x∈A et x∈C), soit x∈(A∩B)∪(A∩C).
Erreurs fréquentes
Confondre ∈ (élément) et ⊂ (ensemble).
Oublier que ∅ est une partie de tout ensemble A (∅⊂A).
Penser que A∖B=B∖A (c'est faux en général).
Soit A={1,2}. Quel est l'ensemble des parties P(A) ?
{∅,1,2}
{∅,{1},{2}}
{∅,{1},{2},{1,2}}
{{1},{2},{1,2}}
Le symbole ∈ s'utilise entre un élément et un ensemble (ex: 2∈{1,2,3}).
Le symbole ⊂ s'utilise entre deux ensembles (ex: {1,2}⊂{1,2,3}).
💡 À retenir : On ne dit jamais 2⊂{1,2,3} car 2 n'est pas un ensemble.
Tu dois prouver deux choses : A⊂B et B⊂A.
Pour A⊂B, prends un x quelconque dans A et montre par étapes logiques qu'il est dans B.
Fais la même chose pour B⊂A.
💡 À retenir : L'égalité est une double inclusion.
L'union (A∪B) contient tous les éléments qui sont dans A OU dans B (on rassemble tout).
L'intersection (A∩B) ne contient que les éléments qui sont dans A ET dans B en même temps (les points communs).
💡 À retenir : Union = "Ou", Intersection = "Et".
Non. ∅⊂A est toujours vrai (l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble), mais ∅∈A n'est vrai que si l'ensemble vide est lui-même un élément de A.
💡 À retenir : ∅ est un sous-ensemble, pas forcément un élément.
Si A a n éléments et B a m éléments, A×B a n×m éléments.
Les éléments sont des couples (a,b) avec a∈A et b∈B.
💡 À retenir : L'ordre compte, (a,b)=(b,a) sauf si a=b.
Oui, le complémentaire n'a de sens que si on précise l'ensemble de référence E.
On note ∁EA l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.
💡 À retenir : Sans l'ensemble E, le complémentaire est indéfini.
Oui, cela signifie que A et B sont des ensembles disjoints. Ils n'ont aucun élément en commun.
💡 À retenir : Disjoints = Intersection vide.
Oui, c'est une propriété fondamentale. Retirer les éléments de B à A revient à prendre les éléments de A qui sont dans le complémentaire de B.
💡 À retenir : A∖B=A∩Bc.
Il faut utiliser la négation : x∈/A∩B équivaut à x∈/A OU x∈/B.
C'est une application directe des lois de Morgan.
💡 À retenir : La négation d'un "et" est un "ou".
Non, {1,2} est exactement la même chose que {2,1}. Un ensemble est défini par ses éléments, pas par leur ordre.
💡 À retenir : L'ordre ne compte pas dans un ensemble.
Si A est inclus dans B, alors tous les éléments de A sont déjà dans B. Donc A∪B=B.
💡 À retenir : Dans une union, le plus grand "avale" le plus petit.
En général non, sauf si A=B ou si l'un des ensembles est vide. Les couples (a,b) et (b,a) sont différents.
💡 À retenir : Le produit cartésien n'est pas commutatif.
Exercice 1
Soient A={1,2,3} et B={2,3,4}. Déterminer A∩B, A∪B, A∖B et B∖A.
Exercice 2
Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Montrer que A∩B⊂A et A⊂A∪B.
Exercice 3
Soient A,B,C trois ensembles. Montrer que A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C).