Mathématiques · Commerce & gestion — ISCAE

Dénombrement et calcul des probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de calculer le cardinal d'un ensemble fini.

p-uplets (avec remise) : $n^p$ .
Arrangements (sans remise, avec ordre) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : $P_n = n!$ .
Combinaisons (sans remise, sans ordre) : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ . La probabilité d'un événement $A$ est $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou p-uplets. Sinon, les combinaisons.
Identifier la répétition : Avec remise = puissance ; sans remise = factorielles/combinaisons.
Propriétés de probabilité : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

Exemples corrigés

Tirage de 3 jetons parmi 10 sans remise et sans ordre : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Tirage de 3 jetons parmi 10 avec remise : $10^3 = 1000$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ (oublier que dans $C_n^p$ , l'ordre n'importe pas).
Oublier de diviser par le cardinal de l'univers pour obtenir une probabilité.
Utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que les événements ne sont pas incompatibles.

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de calculer le cardinal d'un ensemble fini.

p-uplets (avec remise) : $n^p$.
Arrangements (sans remise, avec ordre) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : $P_n = n!$.
Combinaisons (sans remise, sans ordre) : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$. La probabilité d'un événement $A$ est $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise les arrangements ou p-uplets. Sinon, les combinaisons.
Identifier la répétition : Avec remise = puissance ; sans remise = factorielles/combinaisons.
Propriétés de probabilité : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Exemples corrigés

Tirage de 3 jetons parmi 10 sans remise et sans ordre : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Tirage de 3 jetons parmi 10 avec remise : $10^3 = 1000$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ (oublier que dans $C_n^p$, l'ordre n'importe pas).
Oublier de diviser par le cardinal de l'univers pour obtenir une probabilité.
Utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ alors que les événements ne sont pas incompatibles.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dénombrement et calcul des probabilités

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Le nombre de façons de choisir un comité de 3 personnes parmi 10 est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que Cn^p est toujours inférieur à An^p ?

Oui, car $A_n^p = C_n^p \times p!$ . Comme $p! \geq 1$ , alors $A_n^p \geq C_n^p$ . L'arrangement prend en compte l'ordre, ce qui multiplie le nombre de cas possibles.

💡 À retenir : L'arrangement est toujours supérieur ou égal à la combinaison.

Oui, car $A_n^p = C_n^p \times p!$. Comme $p! \geq 1$, alors $A_n^p \geq C_n^p$. L'arrangement prend en compte l'ordre, ce qui multiplie le nombre de cas possibles.

💡 À retenir : L'arrangement est toujours supérieur ou égal à la combinaison.

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^p wla An^p f l'examen ?

Chof wach l'ordre mhem (ex: poste de président/secrétaire) -> $A_n^p$ .
Chof wach l'ordre makayhemch (ex: sélection d'un groupe de 3 personnes) -> $C_n^p$ .

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux éléments sans changer la nature du résultat, utilise $C_n^p$ .

Chof wach l'ordre mhem (ex: poste de président/secrétaire) -> $A_n^p$.
Chof wach l'ordre makayhemch (ex: sélection d'un groupe de 3 personnes) -> $C_n^p$.

💡 À retenir : Si tu peux échanger deux éléments sans changer la nature du résultat, utilise $C_n^p$.

Chno hiya l'far9 bin tirage successif avec remise et sans remise ?

Avec remise : L'objet tiré est remis dans l'urne, donc le nombre total reste constant ( $n^p$ ).
Sans remise : L'objet n'est pas remis, le nombre total diminue à chaque tirage ( $A_n^p$ ).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement ou combinaison.

Avec remise : L'objet tiré est remis dans l'urne, donc le nombre total reste constant ($n^p$).
Sans remise : L'objet n'est pas remis, le nombre total diminue à chaque tirage ($A_n^p$).

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = arrangement ou combinaison.

Est-ce que la probabilité peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, vérifie ton calcul de cardinal ou ta formule.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, vérifie ton calcul de cardinal ou ta formule.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Kifach n7seb l'probabilité dyal l'événement contraire ?

Calcule la probabilité de l'événement $A$ .
Utilise la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .

💡 À retenir : C'est souvent plus simple de calculer le contraire quand on cherche "au moins un".

Calcule la probabilité de l'événement $A$.
Utilise la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

💡 À retenir : C'est souvent plus simple de calculer le contraire quand on cherche "au moins un".

C'est quoi un univers Omega ?

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Par exemple, pour un dé, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

💡 À retenir : Le cardinal de $\Omega$ est toujours le dénominateur dans le calcul de probabilité.

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Par exemple, pour un dé, $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

💡 À retenir : Le cardinal de $\Omega$ est toujours le dénominateur dans le calcul de probabilité.

Pourquoi on utilise n! ?

La factorielle $n!$ représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans $n$ places. C'est la base de tous les calculs de dénombrement.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .

La factorielle $n!$ représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans $n$ places. C'est la base de tous les calculs de dénombrement.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.

Est-ce que Cn^n = 1 ?

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$ .

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, le tirage simultané est par définition un tirage sans ordre. On utilise donc toujours les combinaisons $C_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, le tirage simultané est par définition un tirage sans ordre. On utilise donc toujours les combinaisons $C_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Comment calculer P(A cap B) ?

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Sinon, il faut dénombrer les cas favorables à la réalisation simultanée de $A$ et $B$ .

💡 À retenir : L'intersection signifie "ET".

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Sinon, il faut dénombrer les cas favorables à la réalisation simultanée de $A$ et $B$.

💡 À retenir : L'intersection signifie "ET".

C'est quoi la différence entre "au moins un" et "exactement un" ?

"Au moins un" signifie 1, 2, 3... jusqu'au maximum. "Exactement un" signifie uniquement 1.

💡 À retenir : Pour "au moins un", passe par l'événement contraire.

Est-ce que Cn^p = Cn^{n-p} ?

Oui, c'est la propriété de symétrie des combinaisons. Choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à laisser.

💡 À retenir : Cette propriété simplifie souvent les calculs.

Oui, c'est la propriété de symétrie des combinaisons. Choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à laisser.

💡 À retenir : Cette propriété simplifie souvent les calculs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 1 blanche.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On tire 2 boules successivement sans remise d'une urne contenant 4 boules noires et 2 boules vertes.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.

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Exercice 3

Un QCM comporte 4 questions avec 3 choix par question. Un élève répond au hasard.

Quel est le nombre total de façons de répondre ?
Quelle est la probabilité d'avoir exactement 3 bonnes réponses ?

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Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

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