Mathématiques · Prépa concours post-bac — CPGE (dossier & entretien)

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : C'est la donnée des valeurs $x_i$ prises par $X$ et des probabilités $p_i = P(X=x_i)$ telles que $\sum p_i = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 P(X=x_i)$ .
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Dresser le tableau de la loi de probabilité avant tout calcul.
Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Utiliser la linéarité de l'espérance : $E(aX+b) = aE(X)+b$ .
Identifier les paramètres $n$ et $p$ pour une loi binomiale.

Exemples corrigés

Soit $X$ une variable prenant les valeurs $\{-1, 1\}$ avec $P(X=-1)=0,4$ et $P(X=1)=0,6$ . $E(X) = (-1 \times 0,4) + (1 \times 0,6) = 0,2$ . $V(X) = [(-1)^2 \times 0,4 + 1^2 \times 0,6] - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X)$ est toujours positive.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$ .
Utiliser la formule de la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (à vérifier par le professeur : le programme exige le tirage avec remise pour la loi binomiale).

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.

Loi de probabilité : C'est la donnée des valeurs $x_i$ prises par $X$ et des probabilités $p_i = P(X=x_i)$ telles que $\sum p_i = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum_{i=1}^n x_i^2 P(X=x_i)$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Dresser le tableau de la loi de probabilité avant tout calcul.
Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.
Utiliser la linéarité de l'espérance : $E(aX+b) = aE(X)+b$.
Identifier les paramètres $n$ et $p$ pour une loi binomiale.

Exemples corrigés

Soit $X$ une variable prenant les valeurs ${-1, 1}$ avec $P(X=-1)=0,4$ et $P(X=1)=0,6$. $E(X) = (-1 \times 0,4) + (1 \times 0,6) = 0,2$. $V(X) = [(-1)^2 \times 0,4 + 1^2 \times 0,6] - (0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $V(X)$ est toujours positive.
Confondre $E(X^2)$ et $(E(X))^2$.
Utiliser la formule de la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (à vérifier par le professeur : le programme exige le tirage avec remise pour la loi binomiale).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Variables aléatoires discrètes

1/4

Soit $X$ une variable aléatoire. Laquelle de ces propriétés est toujours vraie ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-espérance ila kan 3ndi tableau?

Tu multiplies chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $p_i$ .
Tu fais la somme de tous ces produits.
Formule : $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$ .

💡 À retenir : L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable.

Tu multiplies chaque valeur $x_i$ par sa probabilité $p_i$.
Tu fais la somme de tous ces produits.
Formule : $E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + ... + x_np_n$.

💡 À retenir : L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable.

Est-ce que la somme des probabilités peut être différente de 1 ?

Non, jamais. Si la somme est différente de 1, cela signifie que tu as fait une erreur dans le calcul des probabilités ou que tu as oublié une valeur possible de $X$ .

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ est la condition nécessaire pour définir une loi de probabilité.

Non, jamais. Si la somme est différente de 1, cela signifie que tu as fait une erreur dans le calcul des probabilités ou que tu as oublié une valeur possible de $X$.

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ est la condition nécessaire pour définir une loi de probabilité.

Chno hiya l-farq bin l-variance o l-écart-type ?

La variance $V(X)$ mesure la dispersion au carré.
L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance, ce qui permet de revenir à l'unité de la variable $X$ .

💡 À retenir : L'écart-type est plus facile à interpréter car il a la même unité que $X$ .

La variance $V(X)$ mesure la dispersion au carré.
L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance, ce qui permet de revenir à l'unité de la variable $X$.

💡 À retenir : L'écart-type est plus facile à interpréter car il a la même unité que $X$.

Est-ce que V(aX+b) = aV(X)+b ?

Non, c'est faux. La formule correcte est $V(aX+b) = a^2V(X)$ . Le terme constant $b$ disparaît car il ne modifie pas la dispersion.

💡 À retenir : La variance est insensible aux translations ( $+b$ ) mais sensible aux homothéties ( $a^2$ ).

Non, c'est faux. La formule correcte est $V(aX+b) = a^2V(X)$. Le terme constant $b$ disparaît car il ne modifie pas la dispersion.

💡 À retenir : La variance est insensible aux translations ($+b$) mais sensible aux homothéties ($a^2$).

Kifach n3ref wach nst3mel loi binomiale ?

Tu utilises la loi binomiale si :

Tu répètes $n$ fois la même expérience.
Chaque expérience a deux issues : succès ou échec.
Les expériences sont indépendantes (tirage avec remise).

💡 À retenir : Cherche les mots-clés "avec remise" ou "indépendant".

Tu utilises la loi binomiale si :

Tu répètes $n$ fois la même expérience.
Chaque expérience a deux issues : succès ou échec.
Les expériences sont indépendantes (tirage avec remise).

💡 À retenir : Cherche les mots-clés "avec remise" ou "indépendant".

Si P(X=k) = 0, est-ce que k fait partie des valeurs prises par X ?

Non, par définition, les valeurs prises par $X$ sont celles pour lesquelles la probabilité est strictement positive.

💡 À retenir : On ne liste dans le tableau que les valeurs où $P(X=x_i) > 0$ .

Non, par définition, les valeurs prises par $X$ sont celles pour lesquelles la probabilité est strictement positive.

💡 À retenir : On ne liste dans le tableau que les valeurs où $P(X=x_i) > 0$.

Est-ce que E(X) peut être négative ?

Oui, tout à fait. Si les valeurs prises par $X$ sont négatives, l'espérance sera négative.

💡 À retenir : L'espérance n'est pas une probabilité, c'est une valeur numérique.

Oui, tout à fait. Si les valeurs prises par $X$ sont négatives, l'espérance sera négative.

💡 À retenir : L'espérance n'est pas une probabilité, c'est une valeur numérique.

Comment calculer P(X geq 1) ?

Il est souvent plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1)$ . Si $X$ prend des valeurs entières, $P(X < 1) = P(X=0)$ .

💡 À retenir : Pense toujours à l'événement contraire pour simplifier les calculs.

Il est souvent plus simple de passer par l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1)$. Si $X$ prend des valeurs entières, $P(X < 1) = P(X=0)$.

💡 À retenir : Pense toujours à l'événement contraire pour simplifier les calculs.

C'est quoi la différence entre variable aléatoire et événement ?

Un événement est un sous-ensemble de l'univers (réalisé ou non), alors qu'une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre à chaque issue de l'univers.

💡 À retenir : $X$ est le "résultat numérique" de l'expérience.

Un événement est un sous-ensemble de l'univers (réalisé ou non), alors qu'une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre à chaque issue de l'univers.

💡 À retenir : $X$ est le "résultat numérique" de l'expérience.

Est-ce que V(X) peut être égale à 0 ?

Oui, si $X$ est une variable certaine (elle prend une seule valeur avec une probabilité de 1). Dans ce cas, il n'y a aucune dispersion.

💡 À retenir : $V(X)=0$ signifie que $X$ est constante.

Oui, si $X$ est une variable certaine (elle prend une seule valeur avec une probabilité de 1). Dans ce cas, il n'y a aucune dispersion.

💡 À retenir : $V(X)=0$ signifie que $X$ est constante.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la loi binomiale ?

Oui, pour les calculs de $C_n^k$ , mais tu dois écrire la formule dans ta copie avant de donner le résultat.

💡 À retenir : Justifie toujours tes étapes, la calculatrice n'est qu'un outil de vérification.

Oui, pour les calculs de $C_n^k$, mais tu dois écrire la formule dans ta copie avant de donner le résultat.

💡 À retenir : Justifie toujours tes étapes, la calculatrice n'est qu'un outil de vérification.

Pourquoi on calcule E(X^2) pour trouver la variance ?

Parce que la formule de la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ est une identité mathématique qui simplifie énormément le calcul par rapport à la définition $\sum p_i(x_i - E(X))^2$ .

💡 À retenir : C'est la formule de König-Huygens, elle est indispensable.

Parce que la formule de la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ est une identité mathématique qui simplifie énormément le calcul par rapport à la définition $\sum p_i(x_i - E(X))^2$.

💡 À retenir : C'est la formule de König-Huygens, elle est indispensable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance $E(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 5 boules : 3 rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l'espérance $E(X)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un QCM comporte 4 questions. Chaque question a 3 choix dont un seul est correct. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 bonnes réponses.

Exercice 2

Un QCM comporte 4 questions. Chaque question a 3 choix dont un seul est correct. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'avoir exactement 2 bonnes réponses.

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Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $P(X=k) = a \cdot k$ pour $k \in \{1, 2, 3\}$ .

Déterminer la valeur de $a$ .
Calculer la variance $V(X)$ .

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $P(X=k) = a \cdot k$ pour $k \in {1, 2, 3}$.

Déterminer la valeur de $a$.
Calculer la variance $V(X)$.

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