Najah.
Mon plan de révision⚡ Défi flash

Volume · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Intersections de surfaces et volumes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'intersection est l'ensemble des points communs entre un plan et un solide (ou une surface). Lorsqu'un plan traverse un solide, la figure géométrique obtenue sur la surface du solide s'appelle une section.

La forme de la section dépend de l'orientation du plan par rapport au solide :

  1. Pour les prismes et cubes : La section est toujours un polygone (triangle, quadrilatère, pentagone, etc.).
  2. Pour les cylindres :
    • Si le plan est parallèle à la base $\rightarrow$ un cercle identique à la base.
    • Si le plan est incliné $\rightarrow$ une ellipse.
    • Si le plan est perpendiculaire à la base (parallèle à l'axe) $\rightarrow$ un rectangle.
  3. Pour les cônes :
    • Si le plan est parallèle à la base $\rightarrow$ un cercle.
    • Si le plan est incliné $\rightarrow$ une ellipse.
  4. Pour les sphères :
    • La section est toujours un cercle (ou un point si le plan est tangent).

Méthodes à maîtriser

Pour trouver et dessiner une section :

  1. Identifier les points d'intersection : Chercher les endroits où le plan coupe les arêtes du solide.
  2. Relier les points : Sur chaque face du solide, relier les points d'intersection par des segments de droite.
  3. Tracer les lignes cachées : Utiliser des pointillés pour les segments de la section qui se trouvent à l'intérieur ou derrière le solide.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un plan coupe un cube en passant par trois sommets adjacents. Quelle est la forme de la section ?

  • Solution :
    1. Les trois points sont des sommets.
    2. Ils appartiennent à trois faces différentes du cube.
    3. En reliant ces trois points, on obtient un triangle.

Exemple 2 : Un plan coupe un cylindre de façon inclinée (ni parallèle à la base, ni parallèle à l'axe).

  • Solution :
    1. Le plan traverse la surface courbe du cylindre.
    2. La trajectoire de la coupe est étirée par rapport au cercle de base.
    3. La forme obtenue est une ellipse.

Erreurs fréquentes

  • Confondre la section (la surface coupée) et la trace (la ligne de contour).
  • Oublier que si le plan ne coupe pas une arête, il ne peut pas y avoir de point d'intersection à cet endroit.
  • Dessiner une section qui dépasse du solide.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Intersections de surfaces et volumes

1/4

La section d'une sphère par un plan est toujours :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une surface et un volume ?
  1. La surface est une partie "plate" ou "extérieure" (2D), comme la peau d'une orange.
  2. Le volume est l'espace occupé à l'intérieur (3D), comme la chair de l'orange.
  3. L'intersection d'un plan et d'une surface donne une ligne, alors que l'intersection d'un plan et d'un volume donne une figure plane (section).

💡 À retenir : La surface est le contour, le volume est le contenu.

Chno hiya l'farq bin section et trace ?
  1. La trace est la ligne (le contour) laissée par la coupe.
  2. La section est la surface (la figure entière) qui se trouve à l'intérieur de cette ligne.
  3. Par exemple, si tu coupes une pomme, le trait de la lame est la trace, et la partie plate que tu vois est la section.

💡 À retenir : La trace est un contour, la section est une surface.

Kifach n3ref l'forme dial l'section bla ma nrssem ?
  1. Regarde l'objet (cylindre, cube, etc.).
  2. Regarde l'angle du plan (parallèle, incliné ou perpendiculaire).
  3. Utilise les règles de base : un plan incliné dans un cylindre fait une ellipse, un plan parallèle à la base d'un cône fait un cercle.

💡 À retenir : L'angle du plan détermine la forme.

Si le plan est parallèle à la base d'une pyramide, quelle est la forme de la section ?
  1. La pyramide a une base polygonale (ex: triangle ou carré).
  2. Un plan parallèle à la base coupera toutes les arêtes latérales avec le même angle.
  3. La section sera un polygone identique à la base, mais en plus petit.

💡 À retenir : Section parallèle à la base = même forme, taille différente.

Chno ndir ila l'plan maki-9is hta arête dial l'cube ?
  1. Si le plan ne coupe aucune arête, cela signifie qu'il passe soit totalement à côté du cube, soit qu'il ne fait que "frôler" une face.
  2. Dans ce cas, il n'y a pas de section à l'intérieur du solide.
  3. Vérifie toujours si le plan traverse bien l'espace occupé par l'objet.

💡 À retenir : Pas d'intersection d'arêtes = pas de section dans le solide.

Quelle est la section d'une sphère par un plan ?
  1. Peu importe l'angle du plan, il coupera toujours la sphère de manière circulaire.
  2. La section est toujours un cercle.
  3. Si le plan touche juste la sphère en un seul point, on dit qu'il est tangent (la section est un point).

💡 À retenir : Sphère + Plan = Cercle.

Un plan coupe un cylindre perpendiculairement à son axe. Quelle est la forme ?
  1. L'axe est la ligne centrale du cylindre.
  2. Si le plan est perpendiculaire à l'axe, il est aussi parallèle à la base.
  3. La section est donc un cercle identique à la base.

💡 À retenir : Perpendiculaire à l'axe = Cercle.

Si je coupe un cube par un plan qui passe par le milieu de 4 arêtes parallèles, quelle forme j'obtiens ?
  1. Les 4 points sont situés sur des arêtes parallèles.
  2. En les reliant, on forme un quadrilatère.
  3. Comme les points sont au milieu, la section sera un carré (ou un rectangle selon l'orientation).

💡 À retenir : 4 points sur des arêtes parallèles = quadrilatère.

Est-ce qu'une section peut être un triangle dans un cylindre ?
  1. Non. Un cylindre a des surfaces courbes et deux bases circulaires.
  2. Un plan peut donner un cercle, une ellipse ou un rectangle.
  3. Pour avoir un triangle, il faudrait un solide avec des faces planes triangulaires comme une pyramide ou un cône.

💡 À retenir : La forme dépend de la nature des faces du solide.

Comment dessiner une section invisible ?
  1. Identifie les points d'intersection sur les arêtes visibles.
  2. Identifie les points d'intersection sur les arêtes cachées.
  3. Relie les points cachés entre eux et vers les points visibles en utilisant des traits pointillés.

💡 À retenir : Pointillés = partie cachée.

Kifach n3ref l'mousstawa (plan) wach mوازي l'base ?
  1. Regarde les lignes de la base et les lignes du plan.
  2. Si les deux ne se croisent jamais, même si on les prolonge, ils sont parallèles.
  3. Dans un dessin en perspective, cela signifie que le plan garde la même inclinaison que la base.

💡 À retenir : Parallèle = ne se croisent jamais.

Si le plan coupe un cône par son sommet, quelle est la section ?
  1. Le plan passe par le point le plus haut (le sommet).
  2. Le plan traverse ensuite les faces latérales.
  3. La section sera un triangle (si le plan passe par le sommet et la base).

💡 À retenir : Passage par le sommet = souvent une forme triangulaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit un cube $ABCDEFGH$. Un plan $\mathcal{P}$ passe par les points $A$, $C$ et $E$.

  1. Identifiez la nature de la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
  2. Justifiez votre réponse.
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : On considère un cylindre de révolution de base circulaire. Un plan $\mathcal{P}$ coupe le cylindre de telle sorte qu'il ne coupe pas les bases, mais qu'il est incliné par rapport à l'axe du cylindre.

  1. Quelle est la forme de la section obtenue ?
  2. Comment appelle-t-on cette forme géométrique ?
  3. Si le plan devenait soudainement parallèle à l'axe du cylindre, quelle serait la nouvelle forme de la section ?
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit une pyramide à base carrée $ABCD$ de sommet $S$. Un plan $\mathcal{P}$ coupe les arêtes latérales $[SA]$, $[SB]$, $[SC]$ et $[SD]$ en quatre points distincts $M, N, P$ et $Q$.

  1. Quelle est la nature de la section $MNPQ$ ?
  2. Si le plan $\mathcal{P}$ est parallèle à la base $ABCD$, quelle est la relation entre le quadrilatère $MNPQ$ et le carré $ABCD$ ?
  3. Si le plan $\mathcal{P}$ est incliné de façon à ce que $M, N, P$ soient sur les arêtes mais que $Q$ soit sur une arête de la base, quelle est la nature de la section ?
Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Volume pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Volume

Représentation en perspective cavalièreCalcul de volumes de solides usuelsProjections orthogonales et vues d'un objetDéveloppement et patrons de solides